Sean $p,q$ números primos tales que $n^{3pq}-n$ es múltiplo de $3pq$ para todos los enteros positivos $n$. Encuentre el menor valor posible de $p+q$.

Sea $\Omega_1$ un círculo con centro $O$ y sea $AB$ un diámetro de $\Omega_1$. Sea $P$ un punto en el segmento $OB$ diferente de $O$. Suponga que otro círculo $\Omega_2$ con centro $P$ se encuentra en el interior de $\Omega_1$. Se trazan tangentes desde $A$ y $B$ al círculo $\Omega_2$ intersecando $\Omega_1$ nuevamente en $A_1$ y $B_1$ respectivamente, tales que $A_1$ y $B_1$ están en los lados opuestos de $AB$. Dado que $A_1 B = 5, AB_1 = 15$ y $OP = 10$, encuentre el radio de $\Omega_1$.

Sean $AB$ y $CD$ dos cuerdas paralelas en un círculo con radio $5$ tales que el centro $O$ se encuentra entre estas cuerdas. Suponga que $AB = 6, CD = 8$. Suponga además que el área de la parte del círculo que se encuentra entre las cuerdas $AB$ y $CD$ es $(m\pi + n) / k$, donde $m, n, k$ son enteros positivos con $mcd(m, n, k) = 1$. ¿Cuál es el valor de $m + n + k$?

Sea $ABCD$ un rectángulo y sean $E$ y $F$ puntos en $CD$ y $BC$ respectivamente tales que el área $(ADE) = 16$, el área $(CEF) = 9$ y el área $(ABF) = 25$. ¿Cuál es el área del triángulo $AEF$?

Sea $P$ un punto interior de un triángulo $ABC$ cuyos lados miden 26, 65, 78. La línea que pasa por $P$ paralela a $BC$ se encuentra con $AB$ en $K$ y $AC$ en $L$. La línea que pasa por $P$ paralela a $CA$ se encuentra con $BC$ en $M$ y $BA$ en $N$. La línea que pasa por $P$ paralela a $AB$ se encuentra con $CA$ en $S$ y $CB$ en $T$. Si $KL, MN, ST$ tienen la misma longitud, encuentre esta longitud común.

¿Cuál es el número de triples (a, b, c) de enteros positivos tales que (i) a < b < c < 10 y (ii) a, b, c, 10 forman los lados de un cuadrilátero?

Suponga que $1, 2, 3$ son las raíces de la ecuación $x^4 + ax^2 + bx = c$. Encuentra el valor de $c$.

Si los números reales $x, y, z$ son tales que $x^2 + 4y^2 + 16z^2 = 48$ y $xy + 4yz + 2zx = 24$, ¿cuál es el valor de $x^2 + y^2 + z^2$?

Suponga que las alturas de un triángulo son $10, 12$ y $15$. ¿Cuál es su semiperímetro?

Cinco números distintos de 2 dígitos están en una progresión geométrica. Encuentra el término medio.