Considerar un prisma, no necesariamente recto, cuya base es un rombo $ABCD$ con lado $AB = 5$ y diagonal $AC = 8$. Una esfera de radio $r$ es tangente al plano $ABCD$ en $C$ y tangente a las aristas $AA_1$, $BB _1$ y $DD_ 1$ del prisma. Calcular $r$.

Hallar todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: existe un polinomio $P_n(x)$ de grado $n$, con coeficientes enteros, tal que $P_n(0)=0$ y $P_n(x)=n$ para $n$ soluciones enteras distintas.

Demostrar que para cualquier entero positivo $x, y, z$ con $xy-z^2 = 1$ uno puede encontrar enteros no negativos $a, b, c, d$ tales que $x = a^2 + b^2, y = c^2 + d^2, z = ac + bd$ . Fijar $z = (2q)!$ para deducir que para cualquier número primo $p = 4q + 1$ , $p$ puede ser representado como la suma de cuadrados de dos enteros.

Determinar todas las ternas $(a, b, c)$ de números reales positivos tales que el sistema \[ax + by -cz = 0,\] \[a \sqrt{1-x^2}+b \sqrt{1-y^2}-c \sqrt{1-z^2}=0,\] es compatible en el conjunto de los números reales, y luego encontrar todas sus soluciones reales.

Sea $p$ un primo y $A = \{a_1, \ldots , a_{p-1} \}$ un subconjunto arbitrario del conjunto de números naturales tal que ninguno de sus elementos es divisible por $p$ . Definamos una función $f$ desde $\mathcal P(A)$ (el conjunto de todos los subconjuntos de $A$ ) al conjunto $P = \{0, 1, \ldots, p - 1\}$ de la siguiente manera: $(i)$ si $B = \{a_{i_{1}}, \ldots , a_{i_{k}} \} \subset A$ y $\sum_{j=1}^k a_{i_{j}} \equiv n \pmod p$ , entonces $f(B) = n,$ $(ii)$ $f(\emptyset) = 0$ , $\emptyset$ siendo el conjunto vacío. Pruebe que para cada $n \in P$ existe $B \subset A$ tal que $f(B) = n.$

Pruebe que es posible colocar $2n(2n + 1)$ piezas de jabón paralelepipédicas (rectangulares) de dimensiones $1 \times 2 \times (n + 1)$ en una caja cúbica con arista $2n + 1$ si y solo si $n$ es par o $n = 1$ . Observación . Se asume que las aristas de las piezas de jabón son paralelas a las aristas de la caja.

Consideramos un punto fijo $P$ en el interior de una esfera fija . Construimos tres segmentos $PA, PB,PC$ , perpendiculares dos a dos , con los vértices $A, B, C$ en la esfera . Consideramos el vértice $Q$ que es opuesto a $P$ en el paralelepípedo (con ángulos rectos) con $PA, PB, PC$ como aristas . Encuentre el lugar geométrico del punto $Q$ cuando $A, B, C$ toman todas las posiciones compatibles con nuestro problema.

En un triángulo $ABC$ tenemos $AB = AC.$ Un círculo que es internamente tangente con el círculo circunscrito del triángulo es también tangente a los lados $AB, AC$ en los puntos $P,$ respectivamente $Q.$ Pruebe que el punto medio de $PQ$ es el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC.$

Una función $f : I \to \mathbb R$ , definida en un intervalo $I$ , se llama cóncava si $f(\theta x + (1 - \theta)y) \geq \theta f(x) + (1 - \theta)f(y)$ para todo $x, y \in I$ y $0 \leq \theta \leq 1$ . Asuma que las funciones $f_1, \ldots , f_n$ , teniendo todos valores no negativos, son cóncavas. Pruebe que la función $(f_1f_2 \cdots f_n)^{1/n}$ es cóncava.

Una sociedad internacional tiene miembros de seis países diferentes. La lista de miembros contiene $1978$ nombres, numerados $1, 2, \dots, 1978$. Demostrar que existe al menos un miembro cuyo número es la suma de los números de dos miembros de su propio país, o dos veces mayor que el número de un miembro de su propio país.