Sea $ABC$ un triángulo con inradio $r$, circunradio $R$, y con lados $a=BC,b=CA,c=AB$. Demuestra que \n\[\frac{R}{2r} \ge \left(\frac{64a^2b^2c^2}{(4a^2-(b-c)^2)(4b^2-(c-a)^2)(4c^2-(a-b)^2)}\right)^2.\]

Sea $ABC$ un triángulo equilátero, y sean $D,E$ y $F$ puntos en $BC,BA$ y $AB$ respectivamente. Sea $\angle BAD= \alpha, \angle CBE=\beta$ y $\angle ACF =\gamma$ . Demuestra que si $\alpha+\beta+\gamma \geq 120^\circ$ , entonces la unión de las regiones triangulares $BAD,CBE,ACF$ cubre el triángulo $ABC$.

Sea $p$ un número primo y sea $X$ un conjunto finito que contiene al menos $p$ elementos. Una colección de subconjuntos disjuntos de $p$ elementos de $X$ se llama una $p$ - familia. (En particular, la colección vacía es una $p$ - familia.) Sea $A$ (respectivamente, $B$ ) denota el número de $p$ - familias que tienen un número par (respectivamente, impar) de subconjuntos de $p$ - elementos de $X$ . Demuestra que $A$ y $B$ difieren en un múltiplo de $p$.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en el plano de $ABC$ que está dentro de la región del ángulo $BAC$ pero fuera del triángulo $ABC$ . \n(a) Demuestra que dos cualesquiera de las siguientes afirmaciones implican la tercera. \n(i) el circuncentro del triángulo $PBC$ se encuentra en el rayo $\stackrel{\to}{PA}$ . \n(ii) el circuncentro del triángulo $CPA$ se encuentra en el rayo $\stackrel{\to}{PB}$ . \n(iii) el circuncentro del triángulo $APB$ se encuentra en el rayo $\stackrel{\to}{PC}$ . \n(b) Demuestra que si las condiciones en (a) se cumplen, entonces los circuncentros de los triángulos $BPC,CPA$ y $APB$ se encuentran en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

En el triángulo $ABC$, $\angle BAC = 94^{\circ},\ \angle ACB = 39^{\circ}$. Demuestra que \[ BC^2 = AC^2 + AC\cdot AB\] .

Elige arbitrariamente $n$ vértices de un $2n-$ g on regular y coloréalos de rojo. Los vértices restantes están coloreados de azul. Arreglamos todas las distancias rojo-rojo en una secuencia no decreciente y hacemos lo mismo con las distancias azul-azul. Demuestra que las dos secuencias así obtenidas son idénticas.

Dado un entero $n\ge 2$, demuestra que \[\lfloor \sqrt n \rfloor + \lfloor \sqrt[3]n\rfloor + \cdots +\lfloor \sqrt[n]n\rfloor = \lfloor \log_2n\rfloor + \lfloor \log_3n\rfloor + \cdots +\lfloor \log_nn\rfloor\] .

Dado un triángulo $ABC$, las bisectrices internas a través de $A$ y $B$ se encuentran con los lados opuestos en $D$ y $E$, respectivamente. Demuestra que \[DE \le (3 - 2\sqrt2)(AB + BC + CA)\] y determina los casos de igualdad.

Considere las áreas de los cuatro triángulos obtenidos al dibujar las diagonales $AC$ y $BD$ de un trapecio $ABCD$. Se calculan los productos de estas áreas, tomados de dos en dos. Si entre los seis productos así obtenidos, dos productos son 1296 y 576, determine la raíz cuadrada del área máxima posible del trapecio al entero más cercano.

Para cada entero positivo $n$, considere el máximo común divisor $h_n$ de los dos números $n!+1$ y $(n+1)!$. Para $n<100$, encuentre el valor más grande de $h_n$.