Hay 2000 ciudades en Graphland; algunas de ellas están conectadas por carreteras. Para cada ciudad se cuenta el número de carreteras que salen de ella. Se sabe que hay exactamente dos números iguales entre todos los números obtenidos. ¿Cuáles pueden ser estos números?

¿Se puede colorear el plano en 2000 colores de manera que cualquier círculo no degenerado contenga puntos de los 2000 colores?

Pruebe para reales $x_1$ , $x_2$ , ....., $x_n$ , $0 < x_k \leq {1\over 2}$ , la desigualdad \[ \left( {n \over x_1 + \dots + x_n} - 1 \right)^n \leq \left( {1 \over x_1} - 1 \right) \dots \left( {1 \over x_n} - 1 \right). \]

¿Se puede hacer la 'pared de ladrillo' (infinita en todas las direcciones) dibujada en la imagen con alambres de longitud $1, 2, 3, \dots$ (cada longitud entera positiva ocurre exactamente una vez)? (Los cables se pueden doblar pero no deben superponerse; el tamaño de un 'ladrillo' es $1\times 2$).

Una tangente $l$ al círculo inscrito en un rombo se encuentra con sus lados $AB$ y $BC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que el producto $AE\cdot CF$ es independiente de la elección de $l$.

Sea $d(n)$ el número de divisores positivos de $n$ y sea $e(n)=\left[2000\over n\right]$ para el entero positivo $n$. Pruebe que \[d(1)+d(2)+\dots+d(2000)=e(1)+e(2)+\dots+e(2000).\]

Sea $N$ el conjunto de los enteros positivos. Determinar si existe una función $f: N\to N$ tal que $f(f(n))=2n$, para todo $n$ perteneciente a $N$.

Sean $x_1, x_2, ... , x_n$ números no negativos $n\ge3$ tales que $x_1 + x_2 + ... + x_n = 1$. Determinar el máximo valor posible de la expresión $x_1x_2 + x_2x_3 + ... + x_{n-1}x_n$.

Las circunferencias $c_1$ y $c_2$ son tangentes internamente a la circunferencia $c$ en los puntos $A$ y $B$, respectivamente, como se ve en la figura. La tangente interior común a $c_1$ y $c_2$ toca a estas circunferencias en $P$ y $Q$, respectivamente. Mostrar que las rectas $AP$ y $BQ$ intersecan a la circunferencia $c$ en puntos diametralmente opuestos.

Probar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que la cantidad de divisores positivos de $2^n-1$ es mayor que $n$.