En un cuadrilátero convexo (en el plano) con un área de $32 \text{ cm}^{2}$, la suma de dos lados opuestos y una diagonal es $16 \text{ cm}$. Determine todos los valores posibles que la otra diagonal puede tener.

Sea $P$ un punto fijo y $T$ un triángulo dado que contiene el punto $P$. Traslade el triángulo $T$ por un vector dado $\bold{v}$ y denote por $T'$ este nuevo triángulo. Sean $r, R$, respectivamente, los radios de los discos más pequeños centrados en $P$ que contienen los triángulos $T, T'$, respectivamente. Demuestre que $r + |\bold{v}| \leq 3R$ y encuentre un ejemplo para mostrar que la igualdad puede ocurrir.

Para cada punto $X$ de un politopo dado, denote por $f(X)$ la suma de las distancias del punto $X$ a todos los planos de las caras del politopo. Demuestre que si $f$ alcanza su máximo en un punto interior del politopo, entonces $f$ es constante.

Consideramos el siguiente sistema con $q=2p$ : \[\begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1q}x_{q}=0,\\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2q}x_{q}=0,\\ \ldots ,\\ a_{p1}x_{1}+\ldots+a_{pq}x_{q}=0,\\ \end{matrix}\] en el que cada coeficiente es un elemento del conjunto $\{-1,0,1\}$ $.$ Demuestra que existe una solución $x_{1}, \ldots,x_{q}$ para el sistema con las propiedades: a.) todos $x_{j}, j=1,\ldots,q$ son enteros $;$ b.) existe al menos un j para el cual $x_{j} \neq 0;$ c.) $|x_{j}| \leq q$ para cualquier $j=1, \ldots ,q.$

Determine el mayor número, que es el producto de algunos enteros positivos, y la suma de estos números es $1976.$

Una caja cuya forma es un paralelepípedo se puede llenar completamente con cubos de lado $1.$ Si ponemos en ella el máximo número posible de cubos, cada uno de volumen $2$, con los lados paralelos a los de la caja, entonces exactamente el $40$ por ciento del volumen de la caja está ocupado. Determine las posibles dimensiones de la caja.

Sea $P_{1}(x)=x^{2}-2$ y $P_{j}(x)=P_{1}(P_{j-1}(x))$ para j $=2,\ldots$ Demuestra que para cualquier entero positivo n, las raíces de la ecuación $P_{n}(x)=x$ son todas reales y distintas.

En un cuadrilátero convexo (en el plano) con un área de $32 \text{ cm}^{2}$ la suma de dos lados opuestos y una diagonal es $16 \text{ cm}$. Determine todos los valores posibles que puede tener la otra diagonal.

¿Existen enteros $a$ y $b$ tales que ninguno de los números $a,a+1,\ldots,a+2023,b,b+1,\ldots,b+2023$ divide a ninguno de los $4047$ otros números, pero $a(a+1)(a+2)\cdots(a+2023)$ divide a $b(b+1)\cdots(b+2023)$ ?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, con $\measuredangle ABC > 90^\circ$ , $\measuredangle CDA > 90^\circ$ y $\measuredangle DAB = \measuredangle BCD$ . Sean $E$ , $F$ y $G$ las reflexiones de $A$ con respecto a las líneas $BC$ , $CD$ y $DB$ . Finalmente, sea la línea $BD$ la que se cruza con el segmento de línea $AE$ en un punto $K$ , y el segmento de línea $AF$ en un punto $L$ . Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí en $G$ .