Si $a,b,c$ son números reales positivos tales que $abc= 1$ , Demuestre que \[ a^{b+c} b^{c+a} c^{a+b} \leq 1 . \]

Demuestre que la ecuación $x^2 + y^2 + z^2 = ( x-y)(y-z)(z-x)$ tiene infinitas soluciones en enteros $x,y,z$.

Sea $ABC$ un triángulo en el que ningún ángulo es $90^{\circ}$. Para cualquier punto $P$ en el plano del triángulo, sean $A_1, B_1, C_1$ las reflexiones de $P$ en los lados $BC, CA, AB$ respectivamente. Demuestre que (i) Si $P$ es el incentro o un excentro de $ABC$, entonces $P$ es el circuncentro de $A_1B_1C_1$; (ii) Si $P$ es el circuncentro de $ABC$, entonces $P$ es el ortocentro de $A_1B_1C_1$; (iii) Si $P$ es el ortocentro de $ABC$, entonces $P$ es el incentro o un excentro de $A_1B_1C_1$.

En un libro con números de página del $ 1$ al $ 100$, se arrancan algunas páginas. La suma de los números en las páginas restantes es $ 4949$ . ¿Cuántas páginas se arrancan?

Un polígono convexo es tal que la distancia entre dos vértices cualesquiera no excede de $ 1$ . $ (i)$ Demuestre que la distancia entre dos puntos cualesquiera en el límite del polígono no excede de $ 1$ . $ (ii)$ Si $ X$ e $ Y$ son dos puntos distintos dentro del polígono, demuestre que existe un punto $ Z$ en el límite del polígono tal que $ XZ + YZ\le1$

Encuentre la suma de todos los números naturales de 3 dígitos que contienen al menos un dígito impar y al menos un dígito par.

Demuestre que $ 3^{2008} + 4^{2009}$ se puede escribir como producto de dos enteros positivos, cada uno de los cuales es mayor que $ 2009^{182}$

Demuestre que no existe un entero $ a$ tal que $ a^2 - 3a - 19$ sea divisible por $ 289$

Sea $ ABC$ un triángulo en el que $ AB = AC$ y sea $ I$ su incentro. Suponga que $ BC = AB + AI$ . Encuentra $ \angle{BAC}$

Sea $P(x)$ = $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n$ un polinomio en el que $a_i$ es un entero no negativo para cada $i \in$ { $0,1,2,3,....,n$ } . Si $P(1) = 4$ y $P(5) = 136$ , ¿cuál es el valor de $P(3)$ ?