Demuestra que el número $19^{1976} + 76^{1976}$ : $(a)$ es divisible por el número primo de (Fermat) $F_4 = 2^{2^4} + 1$ ; $(b)$ es divisible por al menos cuatro primos distintos además de $F_4$ .

Demuestra que existe un poliedro convexo con todos sus vértices en la superficie de una esfera y con todas sus caras triángulos isósceles congruentes cuya razón de lados es $\sqrt{3} :\sqrt{3} :2$ .

Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que la representación decimal de $7^n$ contiene un bloque de al menos $m$ ceros consecutivos, donde $m$ es cualquier entero positivo dado.

Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos coplanares cualesquiera. Sea $L$ un punto tal que $AL || BC, A'L || B'C'$ , y $M,N$ se definen de manera similar. La línea $BC$ se encuentra con $B'C'$ en $P$ , y de manera similar se definen $Q$ y $R$ . Pruebe que $PL, QM, RN$ son concurrentes.

Una secuencia $\{ u_n \}$ de enteros se define por \[u_1 = 2, u_2 = u_3 = 7,\] \[u_{n+1} = u_nu_{n-1} - u_{n-2}, \text{ for }n \geq 3\] Pruebe que para cada $n \geq 1$ , $u_n$ difiere en $2$ de un cuadrado integral.

Una secuencia $(u_{n})$ se define por \[ u_{0}=2 \quad u_{1}=\frac{5}{2}, u_{n+1}=u_{n}(u_{n-1}^{2}-2)-u_{1} \quad \textnormal{for } n=1,\ldots \] Pruebe que para cualquier entero positivo $n$ tenemos \[ [u_{n}]=2^{\frac{(2^{n}-(-1)^{n})}{3}} \] (donde $[x]$ denota el entero más pequeño $\leq x)$

Cinco puntos se encuentran en la superficie de una bola de radio unitario. Encuentre el máximo de la distancia más pequeña entre dos de ellos.

Sean $P_{1}(x)=x^{2}-2$ y $P_{j}(x)=P_{1}(P_{j-1}(x))$ para j $=2,\ldots$ Pruebe que para cualquier entero positivo n las raíces de la ecuación $P_{n}(x)=x$ son todas reales y distintas.

Demuestre que el recíproco de cualquier número de la forma $2(m^2+m+1)$, donde $m$ es un entero positivo, puede representarse como una suma de términos consecutivos en la secuencia $(a_j)_{j=1}^{\infty}$\n\[ a_j = \frac{1}{j(j + 1)(j + 2)}\]

Encuentre todas las soluciones (reales) del sistema\n\[3x_1-x_2-x_3-x_5 = 0,\]\n\[-x_1+3x_2-x_4-x_6= 0,\]\n\[-x_1 + 3x_3 - x_4 - x_7 = 0,\]\n\[-x_2 - x_3 + 3x_4 - x_8 = 0,\]\n\[-x_1 + 3x_5 - x_6 - x_7 = 0,\]\n\[-x_2 - x_5 + 3x_6 - x_8 = 0,\]\n\[-x_3 - x_5 + 3x_7 - x_8 = 0,\]\n\[-x_4 - x_6 - x_7 + 3x_8 = 0.\]