Dado un ángulo $ \angle QBP$ y un punto $ L$ fuera del ángulo $ \angle QBP$ . Dibuje una línea recta a través de $ L$ que se encuentre con $ BQ$ en $ A$ y $ BP$ en $ C$ tal que el triángulo $ \triangle ABC$ tenga un perímetro dado.

Si $ a_0,a_1,\dots,a_{50}$ son los coeficientes del polinomio \[ \left(1+x+x^2\right)^{25}\] demuestre que $ a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{50}$ es par.

Demuestre que no existen números naturales distintos $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d$ tales que $ a^3+b^3=c^3+d^3$ y $ a+b=c+d$ .

Si $ a$ y $ b$ son positivos y $ a + b = 1$ , demuestre que \[ \left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2 \geq \frac{25}{2}\]

Cinco hombres, $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ D$ , $ E$ están usando gorras de color blanco o negro sin que cada uno sepa el color de su gorra. Se sabe que un hombre que usa una gorra negra siempre dice la verdad, mientras que los que usan una gorra blanca siempre mienten. Si hacen las siguientes declaraciones, encuentre el color usado por cada uno de ellos: $ A$ : Veo tres gorras negras y una gorra blanca. $ B$ : Veo cuatro gorras blancas $ C$ : Veo una gorra negra y tres gorras blancas $ D$ : Veo sus cuatro gorras negras.

Demuestre que el producto de 4 números naturales consecutivos no puede ser un cubo perfecto.

Sean $ m_1,m_2,m_3,\dots,m_n$ una reordenación de los números $ 1,2,\dots,n$ . Suponga que $ n$ es impar. Demuestre que el producto \[ \left(m_1-1\right)\left(m_2-2\right)\cdots \left(m_n-n\right)\] es un entero par.

Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ tales que $f(x +y) = f(x) f(y) f(xy)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}.$

$ABC$ es un triángulo. $M$ es el punto medio de $BC$. $\angle MAB = \angle C$, y $\angle MAC = 15^{\circ}$. Demuestre que $\angle AMC$ es obtuso. Si $O$ es el circuncentro de $ADC$, demuestre que $AOD$ es equilátero.

Demuestre que dados nueve enteros, podemos encontrar cuatro, $a, b, c, d$ tales que $a + b - c - d$ es divisible por $20$. Demuestre que esto no siempre es cierto para ocho enteros.