Sea $x =\sqrt{a}+\sqrt{b}$, donde $a$ y $b$ son números naturales, $x$ no es un entero y $x < 1976$. Demuestre que la parte fraccionaria de $x$ excede $10^{-19.76}$.

De un tablero cuadrado de $11$ cuadrados de largo y $11$ cuadrados de ancho, se elimina el cuadrado central. Demuestre que los $120$ cuadrados restantes no se pueden cubrir con $15$ tiras, cada una de $8$ unidades de largo y una unidad de ancho.

Tres círculos concéntricos con centro común $O$ son cortados por una cuerda común en los puntos sucesivos $A, B, C$. Las tangentes trazadas a los círculos en los puntos $A, B, C$ encierran una región triangular. Si la distancia desde el punto $O$ a la cuerda común es igual a $p$, demuestre que el área de la región encerrada por las tangentes es igual a \[\frac{AB \cdot BC \cdot CA}{2p}\]

Sea $P$ un polinomio con coeficientes reales tal que $P(x) > 0$ si $x > 0$. Demuestra que existen polinomios $Q$ y $R$ con coeficientes no negativos tales que $P(x) = \frac{Q(x)}{R(x)}$ si $x > 0.$

Sean $\{a_n\}^{\infty}_0$ y $\{b_n\}^{\infty}_0$ dos sucesiones determinadas por las fórmulas de recursión \n\[a_{n+1} = a_n + b_n,\]\n\[ b_{n+1} = 3a_n + b_n, n= 0, 1, 2, \cdots,\]\ny los valores iniciales $a_0 = b_0 = 1$. Demuestra que existe una constante $c$ determinada únicamente tal que $n|ca_n-b_n| < 2$ para todos los enteros no negativos $n$.

Un conjunto finito de puntos $P$ en el plano tiene la siguiente propiedad: Cada línea que pasa por dos puntos en $P$ contiene al menos un punto más perteneciente a $P$. Demuestra que todos los puntos en $P$ se encuentran en una línea recta.\n\nObservación: Este puede ser un teorema bien conocido llamado 'Sylvester Gallai', pero no encontré este problema (quiero decir, exactamente este) usando la función de búsqueda. Así que por favor discutan sobre el problema aquí, en este tema. ¡Gracias :)

Consideramos el tablero de ajedrez infinito que cubre todo el plano. En cada campo del tablero de ajedrez hay un número real no negativo. Cada número es la media aritmética de los números en los cuatro campos adyacentes del tablero de ajedrez. Demuestra que los números que aparecen en los campos del tablero de ajedrez son todos iguales.

En cada cara lateral de una pirámide cuadrangular se inscribe un círculo. Los círculos inscritos en caras adyacentes son tangentes (tienen un punto en común). Demuestra que los puntos de contacto de los círculos con la base de la pirámide se encuentran en un círculo.

Probar que si $P(x) = (x-a)^kQ(x)$ , donde $k$ es un entero positivo, $a$ es un número real no nulo, $Q(x)$ es un polinomio no nulo, entonces $P(x)$ tiene al menos $k + 1$ coeficientes no nulos.

Sea $I = (0, 1]$ el intervalo unidad de la recta real. Para un número dado $a \in (0, 1)$ definimos un mapa $T : I \to I$ por la fórmula si \[ T (x, y) = \begin{cases} x + (1 - a),&\mbox{ si } 0< x \leq a,\\ \text{ } \\ x - a, & \mbox{ si } a < x \leq 1.\end{cases} \] Mostrar que para cada intervalo $J \subset I$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(J) \cap J \neq \emptyset.$