¿Cuál es la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación $x^2 -7 \lfloor x\rfloor +5=0$ ?

Sean $x_1,x_2,x_3$ las raíces de la ecuación $x^3 + 3x + 5 = 0$ . ¿Cuál es el valor de la expresión $\left( x_1+\frac{1}{x_1} \right)\left( x_2+\frac{1}{x_2} \right)\left( x_3+\frac{1}{x_3} \right)$ ?

Sea $N$ el conjunto de los números naturales. Suponga que $f: N \to N$ es una función que satisface las siguientes condiciones: (a) $f(mn) =f(m)f(n)$ (b) $f(m) < f(n)$ si $m < n$ (c) $f(2) = 2$ ¿Cuál es la suma de $\Sigma_{k=1}^{20}f(k)$ ?

¿Cuántos valores integrales no negativos de $x$ satisfacen la ecuación $ \lfloor \frac{x}{5}\rfloor = \lfloor \frac{x}{7}\rfloor $?

$O$ e $I$ son el circuncentro y el incentro de $\vartriangle ABC$ respectivamente. Suponga que $O$ se encuentra en el interior de $\vartriangle ABC$ e $I$ se encuentra en el círculo que pasa por $B, O$ y $C$ . ¿Cuál es la magnitud de $\angle BAC$ en grados?

Si $a=b-c, b=c-d, c=d-a$ y $abcd\ne 0$ , entonces ¿cuál es el valor de $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}$ ?

Si $\frac{1}{\sqrt{2011+\sqrt{2011^2-1}}}=\sqrt{m}-\sqrt{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos, ¿cuál es el valor de $m+n$ ?

Sea $P(n) = (n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 9)$ . ¿Cuál es el entero más grande que es un divisor de $P(n)$ para todos los enteros pares positivos $n$ ?

$ABCD$ es un cuadrado y $AB = 1$ . Se dibujan triángulos equiláteros $AYB$ y $CXD$ tales que $X$ e $Y$ están dentro del cuadrado. ¿Cuál es la longitud de $XY$ ?

Supongamos que $4^{x_1}= 5, 5^{x_2}= 6,6^{x_3} = 7,..., 126^{x_{123}} = 127,127^{x_{124}} = 128$ . ¿Cuál es el valor del producto $X_1X_2... X_{124}$ ?