Demuestra que existen infinitamente muchos pares $(a, b)$ de enteros positivos con la propiedad de que $a+b$ divide a $ab+1$ , $a-b$ divide a $ab-1$ , $b>1$ y $a>b\sqrt{3}-1$

Determina todas las secuencias $(x_1,x_2,\ldots,x_{2011})$ de enteros positivos, tales que para cada entero positivo $n$ existe un entero $a$ con \[\sum^{2011}_{j=1} j x^n_j = a^{n+1} + 1\]

Determina el mayor entero positivo $k$ que satisface la siguiente propiedad: El conjunto de enteros positivos se puede dividir en $k$ subconjuntos $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tales que para todos los enteros $n \geq 15$ y todos los $i \in \{1, 2, \ldots, k\}$ existen dos elementos distintos de $A_i$ cuya suma es $n.$

Sea $P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_mz^m$ un polinomio con coeficientes complejos tal que $a_m\neq 0, a_n\neq 0$ y $n>m$ . Demuestra que \[\text{max}_{|z|=1}\{|P(z)|\}\ge\sqrt{2|a_ma_n|+\sum_{k=m}^{n} |a_k|^2}\]

El circuncentro del cuadrilátero cíclico $ABCD$ es $O$ . El segundo punto de intersección de los círculos $ABO$ y $CDO$ , además de $O$ , es $P$ , que se encuentra en el interior del triángulo $DAO$ . Elige un punto $Q$ en la extensión de $OP$ más allá de $P$ , y un punto $R$ en la extensión de $OP$ más allá de $O$ . Demuestra que $\angle QAP=\angle OBR$ si y sólo si $\angle PDQ=\angle RCO$ .

Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ una función tal que $f(x+y+xy)=f(x)+f(y)+f(xy)$ para todo $x, y\in\mathbb{R}$ . Demuestra que $f$ satisface $f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todo $x, y\in\mathbb{R}$ .

Sean $0<x<y<z<p$ enteros donde $p$ es un primo. Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes: $(a) x^3\equiv y^3\pmod p\text{ y }x^3\equiv z^3\pmod p$ $(b) y^2\equiv zx\pmod p\text{ y }z^2\equiv xy\pmod p$

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$ . Sea $P$ un punto en $AC$ tal que $C$ está entre $A$ y $P$ ; y sean $X, Y$ los puntos medios de $AB, CD$ respectivamente. Sea $PX$ que interseca a $BC$ en $N$ y $PY$ que interseca a $AD$ en $M$ . Demuestra que $MN\parallel AB$ .

$PS$ es un segmento de recta de longitud $4$ y $O$ es el punto medio de $PS$ . Se dibuja un arco semicircular con $PS$ como diámetro. Sea $X$ el punto medio de este arco. $Q$ y $R$ son puntos en el arco $PXS$ tal que $QR$ es paralelo a $PS$ y el arco semicircular dibujado con $QR$ como diámetro es tangente a $PS$ . ¿Cuál es el área de la región $QXROQ$ limitada por los dos arcos semicirculares?

¿Cuántos pares enteros $(x,y)$ satisfacen $x^2+4y^2-2xy-2x-4y-8=0$ ?