En el rectángulo $ABCD, AB= 5$ y $BC = 3$ . Los puntos $F$ y $G$ están en el segmento de línea $CD$ de modo que $DF = 1$ y $GC = 2$ . Las líneas $AF$ y $BG$ se intersecan en $E$ . ¿Cuál es el área de $\vartriangle AEB$ ?

En $\vartriangle ABC$ , tenemos $AC = BC = 7$ y $AB = 2$ . Supongamos que $D$ es un punto en la línea $AB$ tal que $B$ se encuentra entre $A$ y $D$ y $CD = 8$ . ¿Cuál es la longitud del segmento $BD$ ?

Un cartero tiene que entregar cinco cartas a cinco casas diferentes. Traviesamente, deposita una carta en cada puerta sin mirar si es la dirección correcta. ¿De cuántas maneras diferentes podría hacer esto para que exactamente dos de las cinco casas reciban las cartas correctas?

Sea $S_n = n^2 + 20n + 12$, $n$ un entero positivo. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $n$ para los cuales $S_n$ es un cuadrado perfecto?

Las letras $R, M$ y $O$ representan números enteros. Si $R \times M \times O = 240$, $R \times O + M =46$ y $R + M \times O = 64$, ¿cuál es el valor de $R + M + O$?

¿Para cuántos pares de enteros positivos $(x,y)$ se cumple que $x+3y=100$?

Un triángulo con perímetro $7$ tiene longitudes de lado enteras. ¿Cuál es el área máxima posible de tal triángulo?

A Rama su maestro le pidió que restara $3$ de un cierto número y luego dividiera el resultado entre $9$. En cambio, ella restó $9$ y luego dividió el resultado entre $3$. Obtuvo $43$ como respuesta. ¿Cuál debería haber sido su respuesta si hubiera resuelto el problema correctamente?

Demuestre que para un triángulo con radios de circunferencia circunscrita e inscrita iguales a $ R$ , $ r$ respectivamente, la desigualdad $ R \geq 2r$ se cumple.

Un río fluye entre dos casas $ A$ y $ B$ , las casas están a cierta distancia de las orillas. ¿Dónde se debe construir un puente sobre el río para que una persona que va de $ A$ a $ B$ , usando el puente para cruzar el río, pueda hacerlo por el camino más corto? Asuma que las orillas del río son rectas y paralelas, y que el puente debe ser perpendicular a las orillas.