Determinar el máximo entero $ n $ tal que para cada entero positivo $ k \le \frac{n}{2} $ hay dos divisores positivos de $ n $ con diferencia $ k $ .

Hallar todas las funciones $ f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ tales que $ f(x^3+y^3+xy)=x^2f(x)+y^2f(y)+f(xy) $ , para todo $ x,y \in \mathbb{R} $ .

Dentro del triángulo $ ABC $ se da un punto $ M $ . La línea $ BM $ se encuentra con el lado $ AC $ en $ N $ . El punto $ K $ es simétrico a $ M $ con respecto a $ AC $ . La línea $ BK $ se encuentra con $ AC $ en $ P $ . Si $ \angle AMP = \angle CMN $ , demostrar que $ \angle ABP=\angle CBN $ .

Cada punto con coordenadas enteras en el plano está coloreado de blanco o azul. Demostrar que se puede elegir un color tal que para cada entero positivo $ n $ exista un triángulo de área $ n $ que tenga sus vértices del color elegido.

Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ tales que $f(x+yf(x)) = xf(1+y)$ para todos los reales positivos x, y.

Sea $\omega$ una semicircunferencia con diámetro $AB$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. Sean $X,Y$ puntos en el mismo semiplano con $\omega$ con respecto a la línea $AB$ tal que $AMXY$ es un paralelogramo. Sea $XM\cap \omega = C$ e $YM \cap \omega = D$. Sea $I$ el incentro del $\triangle XYM$. Sea $AC \cap BD= E$ y $ME$ intersecta a $XY$ en $T$. Sea el punto de intersección de $TI$ y $AB$ sea $Q$ y sea la proyección perpendicular de $T$ sobre $AB$ sea $P$. Demuestra que $M$ es el punto medio de $PQ$

Sea $n$ un entero positivo. Los números $1, 2, \dots, 2n+1$ están dispuestos en un círculo en ese orden, y algunos de ellos están marcados. Definimos, para cada $k$ tal que $1\leq k \leq 2n+1$, el intervalo $I_k$ como el intervalo circular cerrado que comienza en $k$ y termina en $k+n$ (tomando residuos mod(2n+1)). Llamamos a un intervalo mágico si contiene estrictamente más de la mitad de todos los elementos marcados. Demuestra que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes:\n1. Al menos $n+1$ de los intervalos $I_1, I_2, \dots, I_{2n+1}$ son mágicos.\n2. El número de números marcados es impar.

Llamamos a un par de números distintos $(a, b)$ un par binario si $ab+1$ es una potencia de dos. Dado un conjunto $S$ de $n$ enteros positivos, ¿cuál es el máximo número posible de pares binarios en $S$?

Sea $\mathcal{F}$ una familia de subconjuntos (distintos) del conjunto ${1,2,\dots,n}$ tal que para todo $A$, $B\in \mathcal{F}$, tenemos que $A^C\cup B\in \mathcal{F}$, donde $A^C$ es el conjunto de todos los miembros de ${1,2,\dots,n}$ que no están en $A$. Demuestra que todo $k\in {1,2,\dots,n}$ aparece en al menos la mitad de los conjuntos en $\mathcal{F}$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ e incírculo $\omega$. Sea $\ell$ la tangente a $\omega$ paralela a $BC$ y distinta de $BC$. Sea $D$ la intersección de $\ell$ y $AC$, y sea $M$ el punto medio de $\overline{ID}$. Demuestra que $\angle AMD = \angle DBC$.