Encuentre todos los números naturales $x,y,z$ tales que $(2^x-1)(2^y-1)=2^{2^z}+1.$

Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ un polinomio de grado $n\geq 3.$ Sabiendo que $a_{n-1}=-\binom{n}{1}$ y $a_{n-2}=\binom{n}{2},$ y que todas las raíces de $P$ son reales, encuentre los coeficientes restantes. Note que $\binom{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!r!}.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle ADC=\angle BCD>90^{\circ}$ . Sea $E$ el punto de intersección de $AC$ y la línea que pasa por $B$ paralela a $AD;$ sea $F$ el punto de intersección de $BD$ y la línea que pasa por $A$ paralela a $BC.$ Demuestre que $EF\parallel CD.$

Un círculo de radio $2$ está inscrito en un trapecio isósceles con un área de $28$. Encuentra la longitud del lado del trapecio.

Si en $\bigtriangleup ABC$ , $AD$ es la altura y $AE$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita que pasa por $A$ , entonces demuestra que $AB\cdot AC = AD \cdot AE$. Usa este resultado para mostrar que si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico, entonces muestra que $AC \cdot (AB \cdot BC + CD \cdot DA) = BD\cdot (DA\cdot AB + BC \cdot CD)$.

$n$ es un entero positivo tal que el producto de todos sus divisores positivos es $n^3$. Encuentra todos los $n$ menores que $100$.

Sea $f(x)$ un polinomio de grado $3$ con coeficientes reales que satisfacen $|f(x)| = 12$ para $x = 1, 2, 3, 5, 6, 7$. Encuentra $|f(0)|$.

Encuentra todas las posibles ternas de enteros $a, b, c$ que satisfacen $a+b-c = 1$ y $a^2+b^2-c^2 =-1$.

Sea $S(r)$ denota la suma de la serie geométrica infinita $17 + 17r + 17r^2 +17r^3 + . . . $ para $-1 < r < 1$. Si $S(a) \times S(-a) = 2023$, encuentra $S(a) + S(-a)$.

En el cuadrilátero $ABCD$, $AD || BC$, las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares entre sí, $X$ e $Y$ son los puntos medios de $AB$ y $CD$ respectivamente. Demuestra que $AB + CD \geq AD + BC$.