Sea $D$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Si la circunferencia circunscrita del triángulo $ADB$ intersecta a $AC$ (o su extensión) en $M$ y también a $BC$ (o su extensión) en $N$ , demostrar que los radios de las circunferencias circunscritas de $\triangle ADB$ y $\triangle MNC$ son iguales.

Determinar los enteros $0 \le a \le b \le c \le d$ tales que: $$2^n= a^2 + b^2 + c^2 + d^2.$$

Sea $f:Z \to N -\{0\}$ tal que: $f(x + y)f(x-y) = (f(x)f(y))^2$ y $f(1)\ne 1$ . Demostrar que $\log_{f(1)}f(z)$ es un cuadrado perfecto para cada entero $z$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que existe un número primo $p$ , tal que $p^n-(p-1)^n$ es una potencia de $3$ . Nota. Una potencia de $3$ es un número de la forma $3^a$ donde $a$ es un entero positivo.

Resolver en enteros no negativos la ecuación $5^t + 3^x4^y = z^2$

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(x,y)$ tales que $2^x + 3^y$ es un cuadrado perfecto.

Determinar todos los enteros positivos n tales que $n^2/ (n - 1)!$

Determinar todos los conjuntos de seis enteros positivos consecutivos tales que el producto de algunos dos de ellos añadido al producto de otros dos de ellos es igual al producto de los dos números restantes.

Un punto $P$ se encuentra en el interior del triángulo $ABC$. Las líneas $AP, BP$ y $CP$ intersecan a $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente. Demuestra que si dos de los cuadriláteros $ABDE, BCEF, CAFD, AEPF, BFPD$ y $CDPE$ son concíclicos, entonces los seis son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB\neq AC$, con circuncírculo $ \Gamma$ y circuncentro $O$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ un punto en $ \Gamma$ tal que $AD \perp BC$. Sea $T$ un punto tal que $BDCT$ es un paralelogramo y $Q$ un punto en el mismo lado de $BC$ que $A$ tal que $\angle{BQM}=\angle{BCA}$ y $\angle{CQM}=\angle{CBA}$. Sea la línea $AO$ que interseca a $ \Gamma$ en $E$ $(E\neq A)$ y sea el circuncírculo de $\triangle ETQ$ que interseca a $ \Gamma$ en el punto $X\neq E$. Demuestra que los puntos $A,M$ y $X$ son colineales.