Halla todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(x+y)=f(x)+f(y) \] para todo $x,y\in\mathbb{N}$ satisfaciendo $10^6-\frac{1}{10^6} < \frac{x}{y} < 10^6+\frac{1}{10^6}$ . \nNota: $\mathbb{N}$ denota el conjunto de los enteros positivos y $\mathbb{R}$ denota el conjunto de los números reales.

El triángulo acutángulo $ABP$ , donde $AB > BP$ , tiene alturas $BH$ , $PQ$ , y $AS$ . Sea $C$ la intersección de las líneas $QS$ y $AP$ , y sea $L$ la intersección de las líneas $HS$ y $BC$ . Si $HS = SL$ y $HL$ es perpendicular a $BC$ , halla el valor de $\frac{SL}{SC}$ .

Sean $a$ , $b$ , $c$ , y $d$ enteros positivos distintos tales que $a^b$ divide a $b^c$ , $b^c$ divide a $c^d$ , y $c^d$ divide a $d^a$ . \n(a) ¿Es posible determinar cuál de los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ es el más pequeño? \n(b) ¿Es posible determinar cuál de los números $a$ , $b$ , $c$ , $d$ es el más grande?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ a $BC$ y sea $M$ el punto medio de $OD$. Los puntos $O_b$ y $O_c$ son los circuncentros de los triángulos $AOC$ y $AOB$, respectivamente. Si $AO=AD$, demuestra que los puntos $A$, $O_b$, $M$ y $O_c$ son concíclicos.

Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula de $100\times 100$, turnándose, comenzando Alice primero. Inicialmente la cuadrícula está vacía. En su turno, eligen un entero del $1$ al $100^2$ que aún no esté escrito en ninguna de las celdas y eligen una celda vacía, y lo colocan en la celda elegida. Cuando no queda ninguna celda vacía, Alice calcula la suma de los números en cada fila, y su puntaje es el máximo de estos $100$ números. Bob calcula la suma de los números en cada columna, y su puntaje es el máximo de estos $100$ números. Alice gana si su puntaje es mayor que el puntaje de Bob, Bob gana si su puntaje es mayor que el puntaje de Alice, de lo contrario nadie gana. Encuentra si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora, y si es así, qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Demuestra que para todos los números reales no negativos $x,y,z$, no todos iguales a $0$, la siguiente desigualdad se cumple\n$\displaystyle \dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$\nDetermina todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales la igualdad se cumple.

Encuentra todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $a!+b$ y $b!+a$ son ambos potencias de $5$.

Definición: Un número natural es abundante si la suma de sus divisores positivos es mayor que su doble. Encontrar un número abundante impar y demostrar que hay infinitos números abundantes impares.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Encontrar el lugar geométrico de los centros de los rectángulos que tienen sus vértices en los lados de $ABC$ .

En el planeta Marte hay $100$ estados que están en disputa. Para lograr una situación de paz, se deben formar bloques que cumplan las siguientes dos condiciones: (1) Cada bloque debe tener como máximo $50$ estados. (2) Cada par de estados debe estar junto en al menos un bloque. Encontrar el número mínimo de bloques que deben formarse.