Sea $S$ el conjunto de puntos dentro y en la frontera de un hexágono regular con lado de longitud 1. Encuentre la menor constante $r$, tal que exista una forma de colorear todos los puntos en $S$ con tres colores de modo que la distancia entre dos puntos con el mismo color sea menor que $r$.

Sean $A= \{a_1,a_2, \cdots, a_n \}$ y $B=\{b_1,b_2 \cdots, b_n \}$ dos conjuntos de enteros positivos y $|A \cap B|=1$. $C= \{ \text{todos los subconjuntos de 2 elementos de A} \} \cup \{ \text{todos los subconjuntos de 2 elementos de B} \}$. La función $f: A \cup B \to \{ 0, 1, 2, \cdots 2 C_n^2 \}$ es inyectiva. Para cualquier $\{x,y\} \in C$, denote $|f(x)-f(y)|$ como la $\textsl{marca}$ de $\{x,y\}$. Si $n \geq 6$, pruebe que al menos dos elementos en $C$ tienen la misma $\textsl{marca}$.

Encuentre todas las funciones $f,g$ : $R \to R$ tales que $f(x+yg(x))=g(x)+xf(y)$ para $x,y \in R$.

En el triángulo $ABC$, $AB > BC > CA$, $AB=6$, $\angle{B}-\angle{C}=90^o$. La circunferencia inscrita toca a $BC$ en $E$ y $EF$ es un diámetro de la circunferencia inscrita. La recta $AF$ intersecta a $BC$ en $D$. $DE$ es igual al circunradio de $\triangle{ABC}$. Encuentre $BC$ y $AC$.

Sea $x_0+\sqrt{2003}y_0$ la mínima raíz entera positiva de la función de Pell $x^2-2003y^2=1$. Encuentre todas las soluciones enteras positivas $(x,y)$ de la ecuación, tales que $x_0$ es divisible por cualquier factor primo de $x$.

¿Podemos encontrar reales positivos $a_1, a_2, \dots, a_{2002}$ tales que para cualquier entero positivo $k$, con $1 \leq k \leq 2002$, cada raíz compleja $z$ del siguiente polinomio $f(x)$ satisface la condición $|\text{Im } z| \leq |\text{Re } z|$,\n\[f(x)=a_{k+2001}x^{2001}+a_{k+2000}x^{2000}+ \cdots + a_{k+1}x+a_k,\]\ndonde $a_{2002+i}=a_i$, para $i=1,2, \dots, 2001$.

$m$ y $n$ son enteros positivos. Sea $A=\{ 1, 2, \cdots, n \}$. Sea el conjunto $B_{n}^{m}=\{ (a_1, a_2 \cdots, a_m) \mid a_i \in A, i= 1, 2, \cdots, m \}$ que satisface: (1) $|a_i - a_{i+1}| \neq n-1$, $i=1,2, \cdots, m-1$; y (2) al menos tres de $a_1, a_2, \cdots, a_m$ ($m \geq 3$) son pairwise distince. Encuentre $|B_n^m|$ y $|B_6^3|$.

Las $n$ raíces de un polinomio de coeficientes complejos $f(z) = z^n + a_1z^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1}z + a_n$ son $z_1, z_2, \cdots, z_n$. Si $\sum_{k = 1}^n |a_k|^2 \leq 1$, entonces pruebe que $\sum_{k = 1}^n |z_k|^2 \leq n$.

Sean $x<y$ enteros positivos y $P=\frac{x^3-y}{1+xy}$. Encuentre todos los valores enteros que puede tomar $P$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero que tiene una circunferencia inscrita centrada en $O$. Demuestre que\n\[\nOA\cdot OC+OB\cdot OD=\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}\n\]