$I$ es el incentro de $\triangle{ABC}$ . El incírculo toca a $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ , respectivamente . Sean $M,N,K=BI,CI,DI \cap EF$ respectivamente y $BN\cap CM=P,AK\cap BC=G$ . El punto $Q$ es la intersección de la línea perpendicular a $PG$ que pasa por $I$ y la línea perpendicular a $PB$ que pasa por $P$ . Demuestra que $BI$ biseca el segmento $PQ$ .

Lanza la moneda $n$ veces, asume que cada vez, solo aparece cara o cruz Sea $a(n)$ denota el número de formas en que la cara aparece en un múltiplo de $3$ veces entre $n$ veces Sea $b(n)$ denota el número de formas en que la cara aparece en un múltiplo de $6$ veces entre $n$ veces $(1)$ Encuentra $a(2016)$ y $b(2016)$ $(2)$ Encuentra el número de enteros positivos $n\leq 2016$ tal que $2b(n)-a(n)\geq 0$

Sea $n$ un entero positivo, $D_n$ es un conjunto de todos los divisores positivos de $n$ y $f(n)=\sum_{d\in D_n}{\frac{1}{1+d}}$ Demuestra que para todo entero positivo $m$ , $\sum_{i=1}^{m}{f(i)} <m$

Para cuatro puntos cualesquiera en un plano, si las áreas de los cuatro triángulos formados son enteros positivos diferentes y las seis distancias entre esos cuatro puntos son también seis enteros positivos diferentes, entonces la clausura convexa de $4$ puntos se llama 'diseño de loto'. (1) Construye un ejemplo de 'diseño de loto'. Además, ¿cuáles son las áreas y las distancias en tu ejemplo? (2) Demuestra que hay infinitos 'diseños de loto' que no son similares.

Dado cualquier entero $n\geq 3$ . Una serie finita se llama serie $n$ si satisface las siguientes dos condiciones $1)$ Tiene al menos $3$ términos y cada término pertenece a $\{ 1,2,...,n\}$ $2)$ Si la serie tiene $m$ términos $a_1,a_2,...,a_m$ entonces $(a_{k+1}-a_k)(a_{k+2}-a_k)<0$ para todo $k=1,2,...,m-2$ ¿Cuántas series $n$ hay $?$

Supongamos que $PAB$ y $PCD$ son dos secantes del círculo $O$ . Las líneas $AD \cap BC=Q$ . El punto $T$ se encuentra en el segmento $BQ$ y el punto $K$ es la intersección del segmento $PT$ con el círculo $O$ , $S=QK\cap PA$ Dado que $ST \parallel PQ$ , demuestra que $B,S,K,T$ se encuentran en un círculo.

La secuencia $(a_n)$ se define por $a_1=1,a_2=\frac{1}{2}$ , $$n(n+1)\na_{n+1}a_{n}+na_{n}a_{n-1}=(n+1)^2a_{n+1}a_{n-1}(n\ge 2).$$ Demuestra que $$\frac{2}{n+1}<\sqrt[n]{a_n}<\frac{1}{\sqrt{n}}(n\ge 3).$$

Dados $n$ reales $a_1,a_2,\cdots , a_n$ tal que la suma de cualesquiera dos de ellos es no negativa. Demuestre que la siguiente afirmación y su recíproca son ambas verdaderas: si $n$ reales no negativos $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ satisfacen $x_1+x_2+\cdots +x_n=1$ , entonces la desigualdad $a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n\ge a_1x^2_1+ a_2x^2_2+\cdots + a_nx^2_n$ se cumple.

Sea $n$ un entero positivo. Denote $M = \{(x, y)|x, y \text{ son enteros }, 1 \leq x, y \leq n\} $. Define la función $f$ en $M$ con las siguientes propiedades: a.) $f(x, y)$ toma un valor entero no negativo; b.) $\sum^n_{y=1} f(x, y) = n - 1$ para $1 \eq x \leq n$ ; c.) Si $f(x_1, y_1)f(x2, y2) > 0$ , entonces $(x_1 - x_2)(y_1 - y_2) \geq 0.$ Encuentre $N(n)$ , el número de funciones $f$ que satisfacen todas las condiciones. Dé el valor explícito de $N(4)$ .

a.) Sean $a,b$ números reales. Defina la secuencia $x_k$ e $y_k$ tal que \[x_0 = 1, y_0 = 0, x_{k+1} = a \cdot x_k - b \cdot y_l, \quad y_{k+1} = x_k - a \cdot y_k \text{ para } k = 0,1,2, \ldots \] Demuestra que \[x_k = \sum^{[k/2]}_{l=0} (-1)^l \cdot a^{k - 2 \cdot l} \cdot \left(a^2 + b \right)^l \cdot \lambda_{k,l}\] donde $\lambda_{k,l} = \sum^{[k/2]}_{m=l} \binom{k}{2 \cdot m} \cdot \binom{m}{l}$ b.) Sea $u_k = \sum^{[k/2]}_{l=0} \lambda_{k,l} $. Para un entero positivo $m,$ denote el resto de $u_k$ dividido por $2^m$ como $z_{m,k} $. Demuestra que $z_{m,k},$ $k = 0,1,2, \ldots$ es una función periódica, y encuentre el período más pequeño.