Para un triángulo $ABC$ fijo, elegimos un punto $M$ en el rayo $CA$ (después de $A$), un punto $N$ en el rayo $AB$ (después de $B$) y un punto $P$ en el rayo $BC$ (después de $C$) de tal manera que $AM -BC = BN- AC = CP – AB$. Demuestra que los ángulos del triángulo $MNP$ no dependen de la elección de $M, N, P$.

Dos cuerdas perpendiculares de un círculo, $AM, BN$, que se intersecan en el punto $K$, definen en el círculo cuatro arcos con longitudes diferentes por pares, siendo $AB$ el más pequeño de ellos. Dibujamos las cuerdas $AD, BC$ con $AD // BC$ y $C, D$ diferentes de $N, M$. Si $L$ es el punto de intersección de $DN, MC$ y $T$ el punto de intersección de $DC, KL$, prueba que $\angle KTC = \angle KNL$.

Una tabla de $4\times 4$ se divide en $16$ celdas cuadradas unitarias blancas. Dos celdas se llaman vecinas si comparten un lado común. Un movimiento consiste en elegir una celda y cambiar los colores de los vecinos de blanco a negro o de negro a blanco. Después de exactamente $n$ movimientos, las $16$ celdas estaban negras. Encuentra todos los valores posibles de $n$.

Hallar todos los números primos $p,q,r$, tales que $ \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1$

Los vértices $A$ y $B$ de un triángulo equilátero $ABC$ se encuentran en un círculo $k$ de radio $1$, y el vértice $C$ está en el interior del círculo $k$. Un punto $D$, diferente de $B$, se encuentra en $k$ de modo que $AD=AB$. La línea $DC$ intersecta a $k$ por segunda vez en el punto $E$. Encuentra la longitud del segmento de línea $CE$.

Hallar todos los números reales $a,b,c,d$ tales que \n\[ \left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\\nab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.\]

Considere un entero $n \ge 4 $ y una secuencia de números reales $x_1, x_2, x_3,..., x_n$ . Una operación consiste en eliminar todos los números que no tengan el rango de la forma $4k + 3$ , dejando así sólo los números $x_3. x_7. x_{11}, ...$ ( por ejemplo, la secuencia $4,5,9,3,6, 6,1, 8$ produce la secuencia $9,1$ ) . Sobre la secuencia $1, 2, 3, ..., 1024 $ la operación se realiza sucesivamente durante $5$ veces. Demuestre que al final sólo queda un número y encuentre este número.

Demuestre que $(x + y + z) \big(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\big) \ge 4 \big(\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}\big)^2$ , para todos los números reales positivos $x, y $ y $z$ .

Determine el valor mínimo del primo $p> 3$ para el cual no existe un número natural $n> 0$ tal que $2^n+3^n\equiv 0\pmod{p} $ .

Sea $f : N \to R$ una función, que satisface la siguiente condición: para cada entero $n > 1$, existe un divisor primo $p$ de $n$ tal que $f(n) = f \big(\frac{n}{p}\big)-f(p)$. Si $f(2^{2007}) + f(3^{2008}) + f(5^{2009}) = 2006$, determine el valor de $f(2007^2) + f(2008^3) + f(2009^5)$.