Sea $F$ el conjunto de todos los polinomios $\Gamma$ tales que todos los coeficientes de $\Gamma (x)$ son enteros y $\Gamma (x) = 1$ tiene raíces enteras. Dado un entero positivo $k$, encuentre el entero más pequeño $m(k) > 1$ tal que existe $\Gamma \in F$ para el cual $\Gamma (x) = m(k)$ tiene exactamente $k$ raíces enteras distintas.

Sea $ABC$ un triángulo y su bisectriz en $A$ corta su circuncírculo en $D.$ Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC,$ $M$ el punto medio de $BC,$ $P$ es el simétrico a $I$ con respecto a $M$ (Asumiendo que $P$ está en el circuncírculo). Extiende $DP$ hasta que corte el circuncírculo nuevamente en $N.$ Demuestra que entre los segmentos $AN, BN, CN$ , hay un segmento que es la suma de los otros dos.

Sea $S = \{(x,y) | x = 1, 2, \ldots, 1993, y = 1, 2, 3, 4\}$ . Si $T \subset S$ y no hay cuadrados en $T.$ Encuentra el máximo valor posible de $|T|.$ Los cuadrados en T usan puntos en S como vértices.

Encuentra todas las soluciones enteras para $2 x^4 + 1 = y^2.$

$\forall n \in \mathbb{N}$ , $P(n)$ denota el número de particiones de $n$ como la suma de enteros positivos (sin tener en cuenta el orden de las partes), por ejemplo, como $4 = 1+1+1+1 = 1+1+2 = 1+3 = 2+2 = 4$ , entonces $P(4)=5$ . La 'Dispersión' de una partición denota el número de partes diferentes en esa partición. Y denotamos que $q(n)$ es la suma de todas las dispersiones, por ejemplo, $q(4)=1+2+2+1+1=7$ . $n \geq 1$ . Demuestra que (1) $q(n) = 1 + \sum^{n-1}_{i=1} P(i).$ (2) $1 + \sum^{n-1}_{i=1} P(i) \leq \sqrt{2} \cdot n \cdot P(n)$ .

$1989$ círculos iguales se colocan arbitrariamente sobre la mesa sin superponerse. ¿Cuál es el menor número de colores que se necesitan para que todos los círculos se puedan pintar con dos círculos tangenciales coloreados de manera diferente?

$AD$ es la altura sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ . Si $BC+AD-AB-AC = 0$ , encuentra el rango de $\angle BAC$ . Formulación alternativa. Sea $AD$ la altura del triángulo $ABC$ al lado $BC$ . Si $BC+AD=AB+AC$ , entonces encuentra el rango de $\angle{A}$ .

Sea $\mathbb{N} = \{1,2, \ldots\}.$ ¿Existe una función $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ tal que $\forall n \in \mathbb{N},$ $f^{1989}(n) = 2 \cdot n$ ?

Suponga que $a,b,c,d$ son reales positivos tales que $ab+cd=1$ y $x_i,y_i$ son números reales tales que $x_i^2+y_i^2=1$ para $i=1,2,3,4$ . Pruebe que \[(ax_1+bx_2+cx_3+dx_4)^2+(ay_4+by_3+cy_2+dy_1)^2\le 2\left(\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{c^2+d^2}{cd}\right).\]

Diez personas solicitan un trabajo. El gerente decide entrevistar a los candidatos uno por uno de acuerdo con las siguientes condiciones: i) los tres primeros candidatos no serán empleados; ii) a partir del cuarto candidato, si la competencia de un candidato supera la competencia de todos los que le precedieron, entonces ese candidato es empleado; iii) si los nueve primeros candidatos no son empleados, entonces el décimo candidato será empleado. Asumimos que ninguno de los $10$ solicitantes tiene la misma competencia, y estas competencias pueden clasificarse de la primera a la décima. Sea $P_k$ representa la probabilidad de que el solicitante con rango $k$ ésimo en competencia sea empleado. Pruebe que: i) $P_1>P_2>\ldots>P_8=P_9=P_{10}$ ; ii) $P_1+P_2+P_3>0.7$ iii) $P_8+P_9+P_{10}\le 0.1$ .