¿Es posible ordenar los números $1^1, 2^2,..., 2008^{2008}$ uno tras otro, de tal manera que el número obtenido sea un cuadrado perfecto? (Explique su respuesta.)

Encuentra todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales que satisfacen el sistema $\begin{cases} x + y + z = 2008 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 6024^2 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2008} \end{cases}$

Sea el parámetro real $p$ tal que el sistema $\begin{cases} p(x^2 - y^2) = (p^2- 1)xy \\ |x - 1|+ |y| = 1 \end{cases}$ tiene al menos tres soluciones reales diferentes. Encuentra $p$ y resuelve el sistema para esa $p$ .

Encuentra todos los números reales $ a,b,c,d$ tales que \[ \left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.\]

Si para los números reales $x, y,z, k$ se cumplen las siguientes condiciones, $x \ne y \ne z \ne x$ y $x^3 +y^3 +k(x^2 +y^2) = y^3 +z^3 +k(y^2 +z^2) = z^3 +x^3 +k(z^2 +x^2) = 2008$ , halla el producto $xyz$ .

Demostrar que en el espacio hay una esfera que contiene exactamente $1994$ puntos con coordenadas enteras.

Demostrar que hay infinitos números naturales $a,b,c,u$ y $v$ con el máximo común divisor $1$ que satisfacen el sistema de ecuaciones: $a+b+c=u+v$ y $a^2+b^2+c^2=u^2+v^2$

En tres casas $A,B$ y $C$, formando un triángulo rectángulo con los catetos $AC=30$ y $CB=40$, viven tres escarabajos $a,b$ y $c$, capaces de moverse a velocidades de $2, 3$ y $4$, respectivamente. Suponga que libera simultáneamente estos errores desde el punto $M$ y marca el tiempo después de que los escarabajos lleguen a sus casas. Encuentre en el plano tal punto $M$, donde el último tiempo para llegar a la casa un error sería mínimo.

Encuentra el número natural más pequeño $n$ para el cual $sin \Big(\frac{1}{n+1934}\Big)<\frac{1}{1994}$.

Sea un poliedro convexo dado con volumen $V$ y superficie total $S$. Demostrar que dentro de un poliedro es posible colocar una bola de radio $\frac{V}{S}$.