Sea $\{a_n\}_{n \geq 1}$ una sucesión acotada que satisface \[a_n < \displaystyle\sum_{k=a}^{2n+2006} \frac{a_k}{k+1} + \frac{1}{2n+2007} \quad \forall \quad n = 1, 2, 3, \ldots \] Demuestre que \[a_n < \frac{1}{n} \quad \forall \quad n = 1, 2, 3, \ldots\]

Sean $O, I$ el circuncentro y el incentro del triángulo $ABC$. La circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ toca a $BC, CA, AB$ en los puntos $D, E, F$ respectivamente. $FD$ se encuentra con $CA$ en $P$, $ED$ se encuentra con $AB$ en $Q$. $M$ y $N$ son los puntos medios de $PE$ y $QF$ respectivamente. Demuestre que $OI \perp MN$.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos. Una secuencia de puntos $(A_0,A_1,\ldots,A_n)$ en el plano cartesiano se llama interesante si $A_i$ son todos puntos reticulares, las pendientes de $OA_0,OA_1,\cdots,OA_n$ son estrictamente crecientes ( $O$ es el origen) y el área del triángulo $OA_iA_{i+1}$ es igual a $\frac{1}{2}$ para $i=0,1,\ldots,n-1$ . Sea $(B_0,B_1,\cdots,B_n)$ una secuencia de puntos. Podemos insertar un punto $B$ entre $B_i$ y $B_{i+1}$ si $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB_i}+\overrightarrow{OB_{i+1}}$ , y la secuencia resultante $(B_0,B_1,\ldots,B_i,B,B_{i+1},\ldots,B_n)$ se llama una extensión de la secuencia original. Dadas dos secuencias interesantes $(C_0,C_1,\ldots,C_n)$ y $(D_0,D_1,\ldots,D_m)$ , demuestra que si $C_0=D_0$ y $C_n=D_m$ , entonces podemos realizar finitamente muchas extensiones en cada secuencia hasta que las dos secuencias resultantes se vuelvan idénticas.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ cualquier permutación de todos los enteros positivos. Demuestra que existen infinitos enteros positivos $i$ tales que $\gcd(a_i,a_{i+1})\leq \frac{3}{4} i$ .

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Sea $P$ un punto en el arco $BC$ (que no contiene a $A$ ) de $\Gamma$ , y sea $M$ un punto en el arco $CA$ (que no contiene a $B$ ) de $\Gamma$ tal que $H$ se encuentra en el segmento $PM$ . Sea $K$ otro punto en $\Gamma$ tal que $KM$ es paralelo a la línea de Simson de $P$ con respecto al triángulo $ABC$ . Sea $Q$ otro punto en $\Gamma$ tal que $PQ \parallel BC$ . Los segmentos $BC$ y $KQ$ se intersecan en un punto $J$ . Demuestra que $\triangle KJM$ es un triángulo isósceles.

Sea $A=\{a^3+b^3+c^3-3abc|a,b,c\in\mathbb{N}\}$ , $B=\{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)|a,b,c\in\mathbb{N}\}$ , $P=\{n|n\in A\cap B,1\le n\le 2016\}$ , encuentra el valor de $|P|$ .

Sea una constante $\alpha$ como $0<\alpha<1$ , demuestre que: $(1)$ Existe una constante $C(\alpha)$ que solo depende de $\alpha$ tal que para todo $x\ge 0$ , $\ln(1+x)\le C(\alpha)x^\alpha$ . $(2)$ Para cada dos números complejos $z_1,z_2$ , $|\ln|\frac{z_1}{z_2}||\le C(\alpha)\left(|\frac{z_1-z_2}{z_2}|^\alpha+|\frac{z_2-z_1}{z_1}|^\alpha\right)$ .

Un profesor suplente lleva a un grupo de estudiantes a un viaje. El profesor a cargo del grupo de estudiantes le dijo al profesor suplente que hay dos estudiantes que siempre mienten, y los demás siempre dicen la verdad. Pero el profesor suplente no sabe quiénes son los dos estudiantes que siempre mienten. Se pierden en un bosque. Finalmente se encuentran en una encrucijada que tiene cuatro caminos. El profesor suplente sabe que su campamento está en un camino, y la distancia es de $20$ minutos a pie. Los estudiantes tienen que ir al campamento antes de que oscurezca. $(1)$ Si hay $8$ estudiantes, y $60$ minutos antes de que oscurezca, da un plan para que todos los estudiantes puedan regresar al campamento. $(2)$ Si hay $4$ estudiantes, y $100$ minutos antes de que oscurezca, ¿hay un plan para que todos los estudiantes puedan regresar al campamento?

Sean $n$ un entero positivo, $x_1,x_2,\cdots,x_n$ números reales positivos tales que $x_1x_2\cdots x_n=1 $ . Demuestra que $$\sum\limits_{i = 1}^{n}x_i\sqrt{x^2_1+x^2_2+\cdots x^2_i}\ge\frac{n+1}{2}\sqrt{n}$$

Sea $\{ a_n\}$ una serie que consiste en enteros positivos tales que $n^2 \mid \sum_{i=1}^{n}{a_i}$ y $a_n\leq (n+2016)^2$ para todo $n\geq 2016$ . Define $b_n=a_{n+1}-a_n$ . Demuestra que la serie $\{ b_n\}$ es eventualmente constante.