Encuentre todos los enteros positivos $x$ e $y$ que satisfacen la ecuación $x(x - y) = 8y - 7$.

Considere $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \ne AC$. Denotemos por $M$ el punto medio de $BC$, por $D, E$ los pies de las alturas desde $B, C$ respectivamente y sea $P$ el punto de intersección de las líneas $DE$ y $BC$. La perpendicular desde $M$ a $AC$ se encuentra con la perpendicular desde $C$ a $BC$ en el punto $R$. Pruebe que las líneas $PR$ y $AM$ son perpendiculares.

Sea $\Gamma$ un círculo de centro $O$, y $\delta$ una línea en el plano de $\Gamma$, que no lo intersecta. Denotemos por $A$ el pie de la perpendicular desde $O$ a $\delta$, y sea $M$ un punto (variable) en $\Gamma$. Denotemos por $\gamma$ el círculo de diámetro $AM$, por $X$ el punto de intersección (distinto de $M$) de $\gamma$ y $\Gamma$, y por $Y$ el punto de intersección (distinto de $A$) de $\gamma$ y $\delta$. Pruebe que la línea $XY$ pasa por un punto fijo.

Sea $O$ un punto dentro del paralelogramo $ABCD$ tal que $\angle AOB + \angle COD = \angle BOC + \angle AOD$ . Demuestre que existe un círculo $k$ tangente a los círculos circunscritos de los triángulos $\vartriangle AOB, \vartriangle BOC, \vartriangle COD$ y $\vartriangle DOA$ .

Las longitudes de los lados de un paralelogramo son $a, b$ y las diagonales tienen longitudes $x$ e $y$ . Sabiendo que $ab = \frac{xy}{2}$ , demuestre que $\left( a,b \right)=\left( \frac{x}{\sqrt{2}},\frac{y}{\sqrt{2}} \right)$ o $\left( a,b \right)=\left( \frac{y}{\sqrt{2}},\frac{x}{\sqrt{2}} \right)$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$ . El punto $D$ se encuentra en el lado $AB$ tal que la semicircunferencia con diámetro $BD$ y centro $O$ es tangente al lado $AC$ en el punto $P$ e interseca al lado $BC$ en el punto $Q$ . El radio $OP$ interseca a la cuerda $DQ$ en el punto $E$ tal que $5 \cdot PE = 3 \cdot DE$ . Encuentre la razón $\frac{AB}{BC}$ .

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A<{{90}^{o}} $. Fuera de un triángulo consideramos los triángulos isósceles $ABE$ y $ACZ$ con bases $AB$ y $AC$ , respectivamente. Si el punto medio $D$ del lado $BC$ es tal que $DE \perp DZ$ y $EZ = 2 \cdot ED$ , demuestre que $\angle AEB = 2 \cdot \angle AZC$ .

¿Es posible cubrir un cuadrado dado con algunos triángulos rectángulos congruentes con un ángulo agudo igual a ${{30}^{o}}$ ? (Los triángulos no pueden superponerse ni exceder los márgenes del cuadrado).

Sea $ABC$ un triángulo, ($BC < AB$). La línea $l$ que pasa por los vértices $C$ y es ortogonal a la bisectriz del ángulo $BE$ de $\angle B$, se encuentra con $BE$ y la mediana $BD$ del lado $AC$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demuestra que el segmento $DF$ biseca el segmento $EG$.

Los vértices $A$ y $B$ de un triángulo equilátero $ABC$ se encuentran en un círculo $k$ de radio $1$, y el vértice $C$ está en el interior del círculo $k$. Un punto $D$, diferente de $B$, se encuentra en $k$ de modo que $AD=AB$. La línea $DC$ interseca a $k$ por segunda vez en el punto $E$. Encuentra la longitud del segmento de línea $CE$.