Sea $n$ un entero positivo. El equipo de danza folclórica georgiana consta de $2n$ bailarines, con $n$ hombres y $n$ mujeres. A cada bailarín, tanto hombre como mujer, se le asigna un número del 1 al $n$. Durante una de sus danzas, todos los bailarines se alinean en una sola línea. Su deseo es que, para cada entero $k$ del 1 al $n$, haya exactamente $k$ bailarines colocados entre el hombre con el número $k$ y la mujer con el número $k$. Demuestra las siguientes afirmaciones: a) Si $n \equiv 1 \text{ o } 2 \mod{4}$, entonces los bailarines no pueden cumplir su deseo. b) Si $n \equiv 0 \text{ o } 3 \mod{4}$, entonces los bailarines pueden cumplir su deseo.

Considera una secuencia de 100 enteros positivos. Cada miembro de la secuencia, comenzando desde el segundo, se deriva multiplicando el número anterior por 2 o dividiéndolo por 16. ¿Es posible que la suma de estos 100 números sea igual a $2^{2023}$ ?

Encuentra todos los $x$ que satisfacen la siguiente ecuación: \[ \sqrt {1 + \frac {20}x } = \sqrt {1 + 24x} + 2 \]

Hormigas, llamadas Anna y Bob, están ubicadas en los vértices \(A\) y \(B\) respectivamente de un cubo \(ABCD A_1 B_1 C_1 D_1\) , con un cubo de azúcar colocado en el vértice \(C_1\) . Se sabe que Bob puede moverse a una velocidad de $20$ metros por minuto. Determine la velocidad mínima en metros enteros por minuto a la que Anna debe poder viajar para alcanzar el cubo de azúcar en \(C_1\) antes que Bob.

Sea $P$ un punto dentro de un cuadrado $ABCD,$ tal que $\angle BPC = 135^\circ $ y el área del triángulo $ADP$ es el doble del área del triángulo $PCD.$ Encuentre $\frac {AP}{DP}.$

Anna tomó un número \(N\) , que está escrito en base 10 y tiene menos de 9 dígitos, y lo duplicó escribiendo otro \(N\) a su izquierda, creando un nuevo número con el doble de dígitos. Bob calculó la suma de todos los enteros del 1 a \(N\) . Resultó que el nuevo número de Anna es 7 veces mayor que la suma calculada por Bob. Determine \(N\) .

En un río con una velocidad de corriente de \(3 \, \text{km/h}\) , hay dos puertos. Todos los sábados, un crucero sale del Puerto 1 hacia el Puerto 2, pasa la noche y regresa al Puerto 1 el domingo. En el barco viven dos caracoles, Romeo y Julieta. Un sábado, inmediatamente después de que el barco zarpa, ambos caracoles comienzan a moverse para encontrarse y lo hacen exactamente cuando el barco llega al Puerto 2. El domingo siguiente, cuando el barco zarpa del Puerto 2, Romeo comienza a moverse hacia la casa de Julieta y llega allí exactamente cuando el barco regresa al Puerto 1. Dado que Julieta se mueve a la mitad de la velocidad de Romeo, determine la velocidad del barco en agua tranquila.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo. Los segmentos $AE$ y $BF$ se intersecan en $X$ y los segmentos $BD$ y $CE$ se intersecan en $Y.$ Se sabe que $$ \angle XBC = \angle XDE = \angle YAB = \angle YEF = 80^\circ \text{ y } \angle XCB = \angle XED = \angle YBA = \angle YFE = \angle 70^\circ.$$ Sean $P$ y $Q$ tales puntos en la línea $XY$ que los segmentos $PX$ y $AF$ se intersecan, los segmentos $QY$ y $CD$ se intersecan y $\angle APF = \angle CQD = 30 ^\circ.$ Estime la suma: \[ \frac{BX}{BF} + \frac{BY}{BD} + \frac{EX}{EA} + \frac{EY}{EC} + \frac{PX}{PY} + \frac{QY}{QX} \]

Encuentre el número de pares ordenados $(a, b, c, d)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación: \[a + 2b + 3c + 1000d = 2024.\]

En un trapezoide convexo $ABCD$ , el lado $AD$ es dos veces la longitud de los otros lados. Sean $E$ y $F$ puntos en los segmentos $AC$ y $BD$ , respectivamente, tales que $\angle BEC = 70^\circ$ y $\angle BFC = 80^\circ$ . Determine la razón de las áreas de los cuadriláteros $BEFC$ y $ABCD$ .