Para cualquier entero positivo $n$, denotamos por $F(n)$ el número de formas en que $n$ puede ser expresado como la suma de tres enteros positivos diferentes, sin tener en cuenta el orden. Así, como $10 = 7+2+1 = 6+3+1 = 5+4+1 = 5+3+2$, tenemos $F(10) = 4$. Demostrar que $F(n)$ es par si $n \equiv 2$ o $4 \pmod 6$, pero impar si $n$ es divisible por $6$.

Determinar todos los números reales a para los cuales existen reales positivos $x_{1}, \ldots, x_{5}$ que satisfacen las relaciones $ \sum_{k=1}^{5} kx_{k}=a, \ \sum_{k=1}^{5} k^{3}x_{k}=a^{2},\ \sum_{k=1}^{5} k^{5}x_{k}=a^{3}.$

Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados $BC, CA, AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Si $P$ es cualquier punto en la circunferencia del círculo inscrito en el triángulo, demostrar que $aPA^2+bPB^2+cPC^2$ es constante.

Sea un polinomio cuadrático $g(x) = ax^2 + bx + c$ dado y un entero $n \ge 1$. Demostrar que existe como máximo un polinomio $f(x)$ de grado $n$ tal que $f(g(x)) = g(f(x)).$

Demostrar la siguiente afirmación: No existe una pirámide con base cuadrada y caras laterales congruentes para la cual las medidas de todas las aristas, el área total y el volumen son enteros.

Un polinomio $P(x)$ tiene grado como máximo $2k$, donde $k = 0, 1,2,\cdots$. Dado que para un entero $i$, la desigualdad $-k \le i \le k$ implica $|P(i)| \le 1$, prueba que para todos los números reales $x$, con $-k \le x \le k$, se cumple la siguiente desigualdad: \[|P(x)| < (2k + 1)\dbinom{2k}{k}\]

Una expedición al desierto acampa en la frontera del desierto, y tiene que proporcionar un litro de agua potable a otro miembro de la expedición, que reside a una distancia de $n$ días a pie desde el campamento, bajo las siguientes condiciones: $(i)$ Cada miembro de la expedición puede recoger como máximo $3$ litros de agua. $(ii)$ Cada miembro debe beber un litro de agua cada día que pase en el desierto. $(iii)$ Todos los miembros deben regresar al campamento. ¿Cuánta agua necesitan (al menos) para hacer eso?

Demuestra la siguiente afirmación: Si un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales toma solo valores no negativos, entonces existe un entero positivo $n$ y polinomios $g_1(x), g_2(x),\cdots, g_n(x)$ tal que \[f(x) = g_1(x)^2 + g_2(x)^2 +\cdots+ g_n(x)^2\]

Encuentra todas las bases de logaritmos en las que un número real positivo puede ser igual a su logaritmo o demuestra que no existe ninguna.

Un tetraedro regular $A_1B_1C_1D_1$ está inscrito en un tetraedro regular $ABCD$, donde $A_1$ está en el plano $BCD$, $B_1$ en el plano $ACD$, etc. Demuestra que $A_1B_1 \ge\frac{ AB}{3}$.