Dado un jeroglífico: $$AB + BC + CA = XY + YZ + ZX = KL + LM + MK $$ donde diferentes letras corresponden a diferentes números, y las mismas letras corresponden a los mismos números. Determine el valor de $ AXK + BYL + CZM $ .

Consideremos una tabla rectangular de 3 × 4 donde cada celda se puede colorear usando uno de los tres colores disponibles. Determine el número de formas diferentes en que se puede colorear la tabla de modo que dos celdas que compartan un lado común no tengan el mismo color. No es necesario utilizar los tres colores en cada coloración.

Consideremos un conjunto de enteros positivos distintos con una suma igual a 2023. Entre estos enteros, hay un total de $d$ números pares y $m$ números impares. Determine el valor máximo posible de $2d + 4m$ .

Leonard tiene un reloj de agujas con solo manecillas de horas y minutos. Determine el número de minutos en un día en los que el ángulo entre las manecillas del reloj no supera 1 grado. Ambas manecillas del reloj se mueven continuamente y a una velocidad constante.

Un estudiante tomó una hoja de papel rectangular con una longitud de un metro y un ancho de cinco centímetros. El estudiante unió los extremos, girando un extremo 180 grados y pegando las superficies para crear una figura llamada cinta de Möbius. En un lado de esta cinta, el estudiante colocó una pulga y una hormiga. Se sabe que si la pulga y la hormiga se mueven en direcciones diferentes en la cinta de Möbius, se encontrarán en 2 minutos. Sin embargo, si se mueven en la misma dirección, se encontrarán en 7 minutos. Dado que la pulga es más rápida que la hormiga y ambas se mueven a velocidades constantes, determine la velocidad de la pulga.

Consideremos un rectángulo $ABCD$ con $BC = 2 \cdot AB$ . Sea $\omega$ el círculo que toca los lados $AB$ , $BC$ y $AD$ . Una tangente trazada desde el punto $C$ al círculo $\omega$ interseca el segmento $AD$ en el punto $K$ . Determine la razón $\frac{AK}{KD}$ .

Sea $n$ algún entero positivo. La universidad libre acepta $n^2$ estudiantes de primer año, donde inicialmente ningún estudiante se conoce. Se sabe que los estudiantes solo pueden conocerse en fiestas, que son organizadas por la administración de la universidad. El objetivo de la administración es asegurarse de que no exista un grupo de $n$ estudiantes donde ninguno de ellos se conozca. Organizar una fiesta con $m$ miembros incurre en un costo de $m^2 - m$. Determine el costo mínimo para que la administración cumpla su objetivo.

Encuentra la constante M más pequeña, de modo que para cualquier número real $a_1, a_2, \dots a_{2023} \in [4, 6]$ y $b_1, b_2, \dots b_{2023} \in [9, 12] $ se cumpla la siguiente desigualdad: $$ \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_{2023}^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_{2023}^2} \leq M \cdot \left ( a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_{2023} b_{2023} \right) $$

Sea $ABCD$ un trapecio, con $AD \parallel BC$, sea $M$ el punto medio de $AD$ y sea $C_1$ el punto simétrico a $C$ con respecto a la línea $BD$. El segmento $BM$ se encuentra con la diagonal $AC$ en el punto $K$, y el rayo $C_1K$ se encuentra con la línea $BD$ en el punto $H$. Demuestra que $\angle{AHD}$ es un ángulo recto.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con longitudes de lado que satisfacen la igualdad: $$ AB \cdot CD = AD \cdot BC = AC \cdot BD.$$ Determine la suma de los ángulos agudos del cuadrilátero $ABCD$.