Olimpiada Euler 2024 Problema 2
Dado el rebus: $$AB \cdot AC \cdot BC = BBBCCC $$ donde diferentes letras corresponden a diferentes dígitos y las mismas letras a los mismos dígitos, encuentre la suma $AB + AC + BC.$
Olimpiada Euler 2024 Problema 1
Usando cada uno de los diez dígitos exactamente una vez, construya dos números de cinco dígitos de tal manera que su diferencia sea minimizada. Determine esta diferencia mínima.
Olimpiada de los Estados Unidos de América 2002 Problema 6
Sea ABC un triángulo, y sea \(I_A, I_B, I_C\) los excentros opuestos a A, B, C respectivamente. Demuestra que el área del triángulo \(I_A I_B I_C\) es al menos cuatro veces el área del triángulo ABC.
Olimpiada de los Estados Unidos de América 2002 Problema 5
Sea n un entero positivo. Denotemos por S el conjunto de puntos (x, y) en el plano con coordenadas enteras tales que \(0 \le x, y \le n\). Supongamos que algunos de los puntos de S están coloreados de rojo de tal manera que si (x, y) es rojo, también lo son (0, y), (n, y), (x, 0) y (x, n). Demuestra que el número de rectángulos cuyos vértices están en S y cuyos vértices son todos rojos es divisible por 3.
Olimpiada de los Estados Unidos de América 2002 Problema 3
Para cada entero positivo n, sea c(n) el número de representaciones de n como una suma de potencias distintas de 2, donde no se permiten potencias. Pruebe que para cualquier entero positivo n, \(c(4n) = c(4n+1)\) y \(c(4n+2) = c(4n+3)\).
Olimpiada de los Estados Unidos de América 2002 Problema 2
Sea ABCD un cuadrilátero cíclico. Sea E la intersección de las líneas AB y CD, y sea F la intersección de las líneas AD y BC. Demuestra que las bisectrices de los ángulos \(\angle BEC\) y \(\angle AFC\) son perpendiculares.
Olimpiada de los Estados Unidos de América 2002 Problema 1
Sea S un conjunto de enteros tal que (a) S contiene 2002 elementos, y (b) para cualesquiera a y b en S, a-b no es divisible por 2, 3 o 7. ¿Cuál es el tamaño más pequeño posible del elemento más grande en S?
Olimpiada China TST 2005 Problema 24
$n$ es un entero positivo, $F_n=2^{2^{n}}+1$. Demuestre que para $n \geq 3$, existe un factor primo de $F_n$ que es mayor que $2^{n+2}(n+1)$.
Olimpiada China TST 2005 Problema 23
En el triángulo acutángulo $ABC$, $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, y $a>b>c$. $I,O,H$ son el incentro, circuncentro y ortocentro del $\triangle{ABC}$ respectivamente. El punto $D \in BC$, $E \in CA$ y $AE=BD$, $CD+CE=AB$. Sea la intersección de $BE$ y $AD$ ser $K$. Pruebe que $KH \parallel IO$ y $KH = 2IO$.
Olimpiada China TST 2005 Problema 22
Sean $b, m, n$ enteros positivos tales que $b > 1$ y $m \neq n.$ Demuestre que si $b^m - 1$ y $b^n - 1$ tienen los mismos divisores primos, entonces $b + 1$ es una potencia de 2.