Dada una secuencia $(a_n)$ , con $a_1 = 4$ y $a_{n+1} = a_n^2-2 (\forall n \in\mathbb{N})$ , pruebe que existe un triángulo con longitudes de lado $a_{n-1}, a_n, a_{n+1},$ y que su área es igual a un entero.

Note que en la fracción $\frac{16}{64}$ podemos realizar una simplificación como $\cancel{\frac{16}{64}}=\frac 14$ obteniendo una igualdad correcta. Encuentre todas las fracciones cuyos numeradores y denominadores son enteros positivos de dos dígitos para las cuales tal simplificación es correcta.

Demuestre que $\frac{20}{60} <\sin 20^{\circ} < \frac{21}{60}.$

Sean $n, k \ge 1$ números naturales. Encuentre el número $A(n, k)$ de soluciones enteras de la ecuación \[|x_1| + |x_2| +\cdots + |x_k| = n\]

Sea $R$ un conjunto de exactamente $6$ elementos. Un conjunto $F$ de subconjuntos de $R$ se llama una $S$-familia sobre $R$ si y sólo si satisface las siguientes tres condiciones: (i) Para ningunos dos conjuntos $X, Y$ en $F$ se cumple $X \subseteq Y$; (ii) Para cualesquiera tres conjuntos $X, Y,Z$ en $F$, $X \cup Y \cup Z \neq R,$ (iii) $\bigcup_{X \in F} X = R$

Sea $M$ un conjunto de puntos en un plano con al menos dos elementos. Demuestre que si $M$ tiene dos ejes de simetría $g_1$ y $g_2$ que se intersecan en un ángulo $\alpha = q\pi$ , donde $q$ es irracional, entonces $M$ debe ser infinito.

Dados los números reales $x_1, x_2, \dots , x_n \ (n \geq 2)$ , con $x_i \geq \frac 1n \ (i = 1, 2, \dots, n)$ y con $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 = 1$ , determine si el producto $P = x_1x_2x_3 \cdots x_n$ tiene un valor máximo y/o mínimo y, en caso afirmativo, proporcione estos valores.

Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octágono. Una rana comienza en el vértice $A$. Desde cualquier vértice excepto $E$, salta a uno de los dos vértices adyacentes. Cuando llega a $E$ se detiene. Sea $a_n$ el número de caminos distintos de exactamente $n$ saltos que terminan en $E$. Demuestre que:\n\[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}={(2+\sqrt2)^{n-1} - (2-\sqrt2)^{n-1} \over\sqrt2}. \]

Para todo $x$ racional que satisface $0 \leq x < 1$, la función $f$ está definida por\n\[f(x)=\begin{cases}\frac{f(2x)}{4},&\mbox{para }0 \leq x < \frac 12,\\ \frac 34+ \frac{f(2x - 1)}{4}, & \mbox{para } \frac 12 \leq x < 1.\end{cases}\] Dado que $x = 0.b_1b_2b_3 \cdots $ es la representación binaria de $x$, encuentre, con demostración, $f(x)$.

Sea $n$ un entero positivo. Si $4^n + 2^n + 1$ es un número primo, demuestre que $n$ es una potencia de tres.