Para el primo $p\equiv 1\pmod{7} $, demuestre que existe algún entero positivo $m$ tal que $m^3+m^2-2m-1$ es un múltiplo de $p$.

En el triángulo acutángulo $ABC$, $AB>AC$. Sean $I$ el incentro, $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$, y $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$. $AI$ interseca a $\Omega$ en el punto $M(\neq A)$, y la línea que pasa por $M$ y es perpendicular a $AM$ interseca a $AD$ en el punto $E$. Ahora sea $F$ el pie de la perpendicular desde $I$ a $AD$. Demuestre que $ID\cdot AM=IE\cdot AF$.

Encuentre todas las funciones $f$ tales que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ y $f(f(x)-x+y^2)=yf(y)$

Suponga que los enteros positivos $m,n,k$ satisfacen las ecuaciones $$m^2+1=2n^2, 2m^2+1=11k^2.$$ Halle el residuo cuando $n$ se divide por $17$.

El triángulo $ABC$ es un triángulo escaleno. Sea $I$ el incentro, $\Omega$ la circunferencia circunscrita, $E$ el excentro de $A$ del triángulo $ABC$. Sea $\Gamma$ el círculo centrado en $E$ y que pasa por $A$. $\Gamma$ y $\Omega$ se intersecan en el punto $D(\neq A)$, y la línea perpendicular a $BC$ que pasa por $A$ se encuentra con $\Gamma$ en el punto $K(\neq A)$. $L$ es el pie de la perpendicular desde $I$ a $AC$. Ahora, si $AE$ y $DK$ se intersecan en $F$, demuestre que $BE\cdot CI=2\cdot CF\cdot CL$.

La secuencia ${a_1, a_2, ..., a_{2019}}$ satisface la siguiente condición. $a_1=1, a_{n+1}=2019a_{n}+1$ Ahora sean $x_1, x_2, ..., x_{2019}$ números reales tales que $x_1=a_{2019}, x_{2019}=a_1$ (Los otros son arbitrarios.) Demuestre que $\sum_{k=1}^{2018} (x_{k+1}-2019x_k-1)^2 \ge \sum_{k=1}^{2018} (a_{2019-k}-2019a_{2020-k}-1)^2$

Sean $ x_1, x_2, \cdots, x_{25} $ números reales tales que $ 0 \le x_i \le i (i=1, 2, \cdots, 25) $ . Encuentre el valor máximo de \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{25}^{3} - ( x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 + \cdots x_{25}x_1x_2 ) \]

Hay $n$ estudiantes, cada uno con $r$ enteros positivos. Sus $nr$ enteros positivos son todos diferentes. Demuestre que podemos dividir a los estudiantes en $k$ clases satisfaciendo las siguientes condiciones. (a) $ k \le 4r $ (b) Si un estudiante $A$ tiene el número $m$ , entonces el estudiante $B$ en la misma clase no puede tener un número $l$ tal que \[ (m-1)! < l < (m+1)!+1 \]

Sea $ABC$ un triángulo y su incírculo se encuentra con $BC, AC, AB$ en $D, E$ y $F$ respectivamente. Sea el punto $ P $ en el incírculo y dentro de $ \triangle AEF $ . Sean $ X=PB \cap DF , Y=PC \cap DE, Q=EX \cap FY $ . Demuestre que los puntos $ A$ y $Q$ se encuentran en $DP$ simultáneamente o están ubicados en lados opuestos de $DP$ .

Encuentre el número de enteros positivos $ n < 3^8 $ que satisfacen la siguiente condición. 'El número de enteros positivos $k (1 \leq k \leq \frac {n}{3})$ tales que $ \frac{n!}{(n-3k)! \cdot k! \cdot 3^{k+1}} $ no es un entero' es $ 216 $ .