Sea $p=4k+1$ un primo. $S$ es un conjunto de todos los posibles residuos iguales o menores que $2k$ cuando $\frac{1}{2} \binom{2k}{k} n^k$ se divide entre $p$ . Demuestra que \[ \sum_{x \in S} x^2 =p \]

Denotemos $A_{DE}$ como el pie de la línea perpendicular desde $A$ a la línea $DE$ . Dados puntos concíclicos $A,B,C,D,E,F$ , demuestra que los tres puntos determinados por las líneas $A_{FD}A_{DE}$ , $B_{DE}B_{EF}$ , $C_{EF}C_{FD}$ , y los tres puntos determinados por las líneas $D_{CA}D_{AB}$ , $E_{AB}E_{BC}$ , $F_{BC}F_{CA}$ son concíclicos.

Para enteros impares $n,$ dos personas juegan un juego en una cuadrícula de $2\times n$. Cada persona colorea una celda que no ha sido coloreada antes con blanco y negro. Cuando se termina de colorear, cuentan el número de pares ordenados de celdas vecinas que tienen el mismo color y diferente color, respectivamente. Si los pares ordenados de celdas vecinas del mismo color son más que los pares ordenados de celdas vecinas de diferente color, la persona que empieza primero gana y pierde de lo contrario. (Si el número es el mismo, empatan). Si ambos usan la mejor estrategia, encuentra el resultado del juego.

Sea $M$ el conjunto de enteros positivos que no tienen un divisor primo mayor que 3. Para cualquier familia infinita de subconjuntos de $M$ , digamos $A_1,A_2,\ldots $ , demostrar que existen $i\ne j$ tales que para cada $x\in A_i$ existe algún $y\in A_j $ tal que $y\mid x$ .

Sea $n$ un entero positivo dado. Demostrar que existen infinitos triples de enteros $(x,y,z)$ tales que \[nx^2+y^3=z^4,\ \gcd (x,y)=\gcd (y,z)=\gcd (z,x)=1.\]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $ H $ el pie de la perpendicular desde $ A $ hasta $ BC $ . $ D, E $ son los puntos en $ AB, AC $ y sean $ F, G $ los pies de la perpendicular desde $ D, E $ hasta $ BC $ . Suponga que $ DG \cap EF $ está en $ AH $ . Sea $ P $ el pie de la perpendicular desde $ E $ hasta $ DH $ . Demostrar que $ \angle APE = \angle CPE $ .

$ A_1 , A_2 , \cdots , A_n $ son subconjuntos dados. Sea $ S = \left\{ 1, 2, \cdots , n \right\} $ . Para cualquier $ X \subset S $ , sea \[ N(X)= \left\{ i \in S-X \ | \ \forall j \in X, \ A_i \cap A_j \ne \emptyset \right\} \] Sea $ m $ un entero tal que $ 3 \le m \le n-2 $ . Demostrar que existe $ X \subset S $ tal que $ |X|=m $ y $ |N(X)| \ne 1 $ .

Para un triángulo $ ABC $ tal que $ \angle B \ne 90^{\circ} $ y $ AB \ne AC $ , defina $ P_{ABC} $ de la siguiente manera; Sea $ I $ el incentro del triángulo $ABC$ , y sean $ D, E, F $ los puntos de intersección con el incírculo y los segmentos $ BC, CA, AB $ . Dos líneas $ AB $ y $ DI $ se encuentran en $ S $ y sea $ T $ el punto de intersección de la línea $ DE $ y la línea que es perpendicular a $ DF $ en $ F $ . La línea $ ST $ interseca la línea $ EF $ en $ R$ . Ahora defina $ P_{ABC} $ como uno de los puntos de intersección del incírculo y el círculo con diámetro $ IR $ , que se encuentra en el otro lado con $ A $ sobre $ IR $ . Ahora piense en un triángulo isósceles $ XYZ $ tal que $ XZ = YZ > XY $ . Sea $ W $ el punto en el lado $ YZ $ tal que $ WY < XY $ y sea $ K = P_{YXW} $ y $ L = P_{ZXW} $ . Demostrar que $ 2 KL \le XY $ .

Un conejo se coloca en un tablero de ajedrez de $2n\times 2n$. Cada vez, el conejo se mueve a uno de los cuadrados adyacentes. (Adyacente significa compartir un borde). Se sabe que el conejo pasó por cada cuadrado y regresó al lugar donde comenzó el conejo, y el camino del conejo forma un polígono $\mathcal{P}$ . Encuentre el número máximo posible de los vértices de $\mathcal{P}$ . Por ejemplo, la respuesta para el caso $n=2$ sería $12$ .

Encontrar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que para todo número positivo $n$ y primo $p$ que satisfacen $p\nmid nP(n)$ , tenemos $ord_p(n)\ge ord_p(P(n))$ .