¿Existen dos secuencias acotadas $a_1, a_2,\ldots$ y $b_1, b_2,\ldots$ tales que para cada entero positivo $n$ y $m>n$ al menos una de las dos desigualdades $|a_m-a_n|>1/\sqrt{n},$ y $|b_m-b_n|>1/\sqrt{n}$ se cumple?

Se da un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales de grado mayor que $1$. Demuestre que hay infinitos enteros positivos que no pueden representarse en la forma \[f(n+1)+f(n+2)+\cdots+f(n+k)\] donde $n$ y $k$ son enteros positivos.

En el triángulo $ABC$ , un punto $M$ es el punto medio de $AB$ , y un punto $I$ es el incentro. El punto $A_1$ es la reflexión de $A$ en $BI$ , y $B_1$ es la reflexión de $B$ en $AI$ . Sea $N$ el punto medio de $A_1B_1$ . Demuestre que $IN > IM$ .

En el paralelogramo $ABCD$ con ángulo agudo $A$ se elige un punto $N$ en el segmento $AD$ , y un punto $M$ en el segmento $CN$ de modo que $AB = BM = CM$ . El punto $K$ es la reflexión de $N$ en la línea $MD$ . La línea $MK$ se encuentra con el segmento $AD$ en el punto $L$ . Sea $P$ el punto común de las circunferencias circunscritas de $AMD$ y $CNK$ tal que $A$ y $P$ compartan el mismo lado de la línea $MK$ . Demuestre que $\angle CPM = \angle DPL$ .

Un árbol- $2$ de diez niveles se dibuja en el plano: un vértice $A_1$ está marcado, está conectado por segmentos con dos vértices $B_1$ y $B_2$ , cada uno de $B_1$ y $B_2$ está conectado por segmentos con dos de los cuatro vértices $C_1, C_2, C_3, C_4$ (cada $C_i$ está conectado con un $B_j$ exactamente); y así sucesivamente, hasta $512$ vértices $J_1, \ldots, J_{512}$ . Cada uno de los vértices $J_1, \ldots, J_{512}$ está coloreado de azul o dorado. Considere todas las permutaciones $f$ de los vértices de este árbol, tales que (i) si $X$ y $Y$ están conectados con un segmento, entonces también lo están $f(X)$ y $f(Y)$ , y (ii) si $X$ está coloreado, entonces $f(X)$ tiene el mismo color. Encuentra el máximo $M$ tal que haya al menos $M$ permutaciones con estas propiedades, independientemente de la coloración.

Polinomios no nulos $P(x)$ , $Q(x)$ , y $R(x)$ con coeficientes reales satisfacen las identidades $$ P(x) + Q(x) + R(x) = P(Q(x)) + Q(R(x)) + R(P(x)) = 0. $$ Demuestre que los grados de los tres polinomios son todos pares.

Dado un triángulo $ABC$, sean $D$ , $E$ , $F$ proyecciones ortogonales de $A$ , $B$ , $C$ a los lados opuestos respectivamente. Sean $X$ , $Y$ , $Z$ los puntos medios de $AD$ , $BE$ , $CF$ respectivamente. Demuestra que las perpendiculares desde $D$ a $YZ$ , desde $E$ a $XZ$ y desde $F$ a $XY$ son concurrentes.

Llamamos a una secuencia de $n$ dígitos uno o cero un código. Una subsecuencia de un código es un palíndromo si es la misma después de invertir el orden de sus dígitos. Un palíndromo se llama agradable si sus dígitos ocurren consecutivamente en el código. (El código $(1101)$ contiene $10$ palíndromos, de los cuales $6$ son agradables.) a) ¿Cuál es el número mínimo de palíndromos en un código? b) ¿Cuál es el número mínimo de palíndromos agradables en un código?

Un palíndromo es una secuencia de dígitos que no cambia si invertimos el orden de sus dígitos. Demuestra que una secuencia $(x_n)^{\infty}_{n=0}$ definida como $x_n=2013+317n$ contiene infinitos números con sus expansiones decimales siendo palíndromos.

En cada campo de una tabla hay un número real. Llamamos a tal tabla de $n \times n$ tonta si cada entrada es igual al producto de todos los números en los campos vecinos. a) Encuentra todas las tablas tontas de $2 \times 2$. b) Encuentra todas las tablas tontas de $3 \times 3$.