Para variables reales $0 \leq x, y, z, w \leq 1$ , encontrar el valor máximo de $$x(1-y)+2y(1-z)+3z(1-w)+4w(1-x)$$

$A$ es un conjunto que satisface la siguiente condición. Mostrar que $2001+\sqrt{2001}$ es un elemento de $A$ . Condición (1) $1 \in A$ (2) Si $x \in A$ , entonces $x^2 \in A$ . (3) Si $(x-3)^2 \in A$ , entonces $x \in A$ .

Algunas $n \geq 3$ ciudades están conectadas con ferrocarriles, de modo que se puede viajar de una ciudad a otra, no necesariamente directamente. Sin embargo, los ferrocarriles están estructurados de tal manera que sólo hay una manera de ir de una ciudad a otra, asumiendo que no se pasa por la misma ciudad otra vez. Sea $A$ el conjunto de estas ciudades y ferrocarriles. Mostrar que existe un subconjunto de $A$ , digamos $C$ , tal que (1) $C$ tiene al menos $[(n+1)/2]$ ciudades como su elemento. (2) Ningún par de elementos de $C$ están directamente conectados con ferrocarriles.

$A, B$ son puntos en el círculo $O$ que satisfacen $\angle AOB < 120^{\circ} $ . $C$ es un punto en la línea tangente de $O$ que pasa por $A$ satisfaciendo $AB=AC$ y $\angle BAC < 90^{\circ} $ . $D$ es la intersección de $O$ y $BC$ no $B$ , e $I$ es el incentro de $ABD$ . Demostrar que $AE=AC$ donde $E$ es la intersección de $CI$ y $AD$ .

$n$ es un producto de dos primos consecutivos. $s(n)$ denota la suma de los divisores de $n$ y $p(n)$ denota el número de enteros positivos relativamente primos que no exceden a $n$ . Expresar $s(n)p(n)$ como un polinomio de $n$ .

Un triángulo rectángulo de la siguiente condición es dado: las longitudes de los tres lados son todos enteros positivos y la longitud del segmento más corto es $141$ . Para el triángulo que tiene el área mínima mientras satisface la condición, encontrar las longitudes de los otros dos lados.

El grafo $G$ se define en un espacio 3d. Tiene $e$ aristas y cada vértice está conectado si la distancia entre ellos es $1.$ Dado que existe el ciclo de Hamilton, demuestra que para $e>1,$ tenemos $$\min d(v)\le 1+2\left(\frac{e}{2}\right)^{0.4}.$$

Sea $n$ un 'Número Bueno' si la suma de todos los divisores de $n$ es menor que $2n$ para $n\in \mathbb{Z}.$ ¿Existe un conjunto infinito $M$ que satisfaga lo siguiente? Para todo $a,b\in M,$ $a+b$ es un número bueno. ( $a=b$ está permitido.)

Sea $\Delta ABC$ un triángulo y $P$ un punto en su interior. Demuestra que \[ \frac{[BPC]}{PA^2}+\frac{[CPA]}{PB^2}+\frac{[APB]}{PC^2} \ge \frac{[ABC]}{R^2} \] donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita de $\Delta ABC$ , y $[XYZ]$ es el área de $\Delta XYZ$ .

Sea $\Delta ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y circuncírculo $w$ . Sea $S$ el centro del círculo que es tangente a $AB$ , $AC$ , y $w$ (en el interior), y sea el círculo que se encuentra con $w$ en el punto $K$ . Sea el círculo con diámetro $AS$ que se encuentra con $w$ en $T$ . Si $M$ es el punto medio de $BC$ , demuestra que $K,T,M,O$ son concíclicos.