$\omega_1,\omega_2$ son círculos ortogonales, y sus intersecciones son $P,P'$ . Otro círculo $\omega_3$ se encuentra con $\omega_1$ en $Q,Q'$ , y $\omega_2$ en $R,R'$ . (Los puntos $Q,R,Q',R'$ están en orden horario). Suponga que $P'R$ y $PR'$ se encuentran en $S$ , y sea $T$ el circuncentro de $\triangle PQR$ . Demuestre que $T,Q,S$ son colineales si y solo si $O_1,S,O_3$ son colineales. ( $O_i$ es el centro de $\omega_i$ para $i=1,2,3$ . )

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ tales que si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, y $r$ es el radio de su incírculo, entonces $f(a),f(b),f(c)$ también forman un triángulo donde su radio del incírculo es $f(r)$ .

Considera un triángulo $ABC$ con $BC = a, CA = b, AB = c.$ Sea $D$ el punto medio de $BC$ y $E$ la intersección de la bisectriz de $A$ con $BC$ . El círculo que pasa por $A, D, E$ se encuentra con $AC, AB$ nuevamente en $F, G$ respectivamente. Sea $H\not = B$ un punto en $AB$ con $BG = GH$ . Demuestra que los triángulos $EBH$ y $ABC$ son similares y encuentra la razón de sus áreas.

Dado $n \in\mathbb{N}$ , encuentra todas las funciones continuas $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que para todo $x\in\mathbb{R},$ $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f(x^{2^{k}})=0$.

Un entero que es el área de un triángulo rectángulo con lados enteros se llama pitagórico. Demuestra que para cada entero positivo $n > 12$ existe un número pitagórico entre $n$ y $2n$.

Encuentra el menor $x \in\mathbb{N}$ para el cual $\frac{7x^{25}-10}{83}$ es un entero.

Sea dado un triángulo $ABC$ con $BC = a, CA = b, AB = c$. Encuentra el punto $P$ en el plano para el cual $aAP^{2}+bBP^{2}+cCP^{2}$ es mínimo, y calcula este mínimo.

Considera una matriz de $9 \times 9$ de cuadrados blancos. Encuentra el mayor $n \in\mathbb N$ con la propiedad: No importa cómo uno elija $n$ de 81 cuadrados blancos y los coloree de negro, siempre permanece una matriz de $1 \times 4$ de cuadrados blancos (ya sea vertical u horizontal).

Sean a, b, c, d, y e enteros positivos. ¿Hay alguna solución a $a^2+b^3+c^5+d^7=e^{11}$ ?

Los números reales $a,b,c,x,y,$ y $z$ son tales que $a>b>c>0$ y $x>y>z>0$ . Demuestre que \ [\frac {a^2x^2}{(by+cz)(bz+cy)}+\frac{b^2y^2}{(cz+ax)(cx+az)}+\frac{c^2z^2}{(ax+by)(ay+bx)}\ge \frac{3}{4}\]