Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $k$. Se da que la tangente desde $A$ al círculo se encuentra con la línea $BC$ en el punto $P$. Sea $M$ el punto medio del segmento de línea $AP$ y $R$ el segundo punto de intersección del círculo $k$ con la línea $BM$. La línea $PR$ se encuentra de nuevo con el círculo $k$ en el punto $S$ diferente de $R$. Demuestra que las líneas $AP$ y $CS$ son paralelas.

En una secuencia $P_n$ de trinomios cuadráticos cada trinomio, comenzando con el tercero, es la suma de los dos trinomios precedentes. Los dos primeros trinomios no tienen raíces comunes. ¿Es posible que $P_n$ tenga una raíz entera para cada $n$ ?

Se da un triángulo acutángulo $ABC$, $AC \not= BC$. Las alturas trazadas desde $A$ y $B$ se encuentran en $H$ e intersecan la bisectriz externa del ángulo $C$ en $Y$ y $X$ respectivamente. La bisectriz externa del ángulo $AHB$ se encuentra con los segmentos $AX$ y $BY$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Si $PX = QY$, demuestra que $AP + BQ \ge 2CH$.

En una tabla de $n\times n$ ( $n>1$ ) se marcan $k$ cuadrados unitarios. Se quiere reorganizar las filas y columnas para que todos los cuadrados unitarios marcados estén por encima de la diagonal principal o sobre ella. ¿Para qué $k$ máximo es siempre posible?

Los senos de tres ángulos agudos forman una progresión aritmética, mientras que los cosenos de estos ángulos forman una progresión geométrica. Demuestra que los tres ángulos son iguales.

Un cuadrado de $n\times n$ ( $n$ es un entero positivo) consta de $n^2$ cuadrados unitarios. Un $\emph{camino monótono}$ en este cuadrado es un camino de longitud $2n$ que comienza en la esquina inferior izquierda del cuadrado, termina en su esquina superior derecha y recorre los lados de los cuadrados unitarios. Para cada $k$ , $0\leq k\leq 2n-1$ , sea $S_k$ el conjunto de todos los caminos monótonos tal que el número de cuadrados unitarios que se encuentran debajo del camino deja un resto $k$ al dividirse por $2n-1$ . Demuestra que todos los $S_k$ contienen el mismo número de elementos.

Se dan números reales positivos $a_1, \dots, a_k, b_1, \dots, b_k$. Sea $A = \sum_{i = 1}^k a_i, B = \sum_{i = 1}^k b_i$. Demuestra la desigualdad \[ \left( \sum_{i = 1}^k \frac{a_i b_i}{a_i B + b_i A} - 1 \right)^2 \ge \sum_{i = 1}^k \frac{a_i^2}{a_i B + b_i A} \cdot \sum_{i = 1}^k \frac{b_i^2}{a_i B + b_i A}. \]

En el trapecio $ABCD$, $M$ es el punto medio de la base $AD$. El punto $E$ se encuentra en el segmento $BM$. Se sabe que $\angle ADB=\angle MAE=\angle BMC$. Demuestra que el triángulo $BCE $ es isósceles.

Los polinomios $F$ y $G$ satisfacen: $$F(F(x))>G(F(x))>G(G(x))$$ para todo $x$ real. Demuestra que $F(x)>G(x)$ para todo $x$ real.

Se da un triángulo acutángulo $ABC$, $AC \not= BC$. Las alturas trazadas desde $A$ y $B$ se encuentran en $H$ e intersecan la bisectriz externa del ángulo $C$ en $Y$ y $X$ respectivamente. La bisectriz externa del ángulo $AHB$ se encuentra con los segmentos $AX$ y $BY$ en $P$ y $Q$ respectivamente. Si $PX = QY$, demuestra que $AP + BQ \ge 2CH$.