Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB<AC$ . Sea $\Omega$ su circuncírculo, $O$ su circuncentro y $l$ la bisectriz del ángulo interno de $\angle BAC$ . Suponga que las tangentes a $\Omega$ en $B$ y $C$ se intersecan en $X$ . Sea $\omega$ un círculo cuyo centro es $X$ y pasa por $B$ , e $Y$ sea la intersección de $l$ y $\omega$ que se elige dentro de $\triangle ABC$ . Sean $D,E$ las proyecciones de $Y$ sobre $AB,AC$ , respectivamente. $OY$ se encuentra con $BC$ en $Z$ . $ZD,ZE$ se encuentran con $l$ en $P,Q$ , respectivamente. Demuestre que $BQ$ y $CP$ son paralelas.

Demuestre que la ecuación $y^2=x^3+7$ no tiene ninguna solución en los enteros.

Determine todos los enteros positivos $(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3)$ tales que $y_1+ny_2^n+n^2y_3^{2n}$ divide a $x_1+nx_2^n+n^2x_3^{2n}$ para todo entero positivo $n$ .

Sea $ABDC$ un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo $\Omega$ . $AD$ se encuentra con $BC$ en $P$ , y $\Omega$ se encuentra con líneas que pasan por $A$ y son paralelas a $DB$ , $DC$ en $E$ , $F$ , respectivamente. $X$ es un punto en $\Omega$ tal que $PA=PX$ . Demuestre que las líneas $BE$ , $CF$ y $DX$ son concurrentes.

Hay $2022$ estudiantes en la escuela de invierno. Dos estudiantes arbitrarios son amigos o enemigos entre sí. En cada turno, elegimos un estudiante $S$ , convertimos en amigos de $S$ a sus enemigos y convertimos en enemigos de $S$ a sus amigos. Esto continúa hasta que satisface la condición final. Condición Final: Para cualquier partición de estudiantes en dos grupos no vacíos $A$ , $B$ , existen dos estudiantes $a$ , $b$ tales que $a\in A$ , $b\in B$ , y $a$ , $b$ son amigos entre sí. Determine el valor mínimo de $n$ tal que, independientemente de la condición inicial, podemos satisfacer la condición final con no más de $n$ turnos.

Sea $n\ge 3$ un entero positivo. Amy escribió todos los enteros de $1$ a $n^2$ en la cuadrícula de $n\times n$ , de modo que cada celda contiene exactamente un número. Para $i=1,2,\cdots ,n^2-1$ , la celda que contiene $i$ comparte un lado común con la celda que contiene $i+1$ . En cada turno, Bred puede elegir una celda y verificar qué número está escrito. Bred quiere saber dónde está escrito $1$ en menos de $3n$ turnos. Determine si $n$ tal que Bred siempre puede lograr su objetivo es infinito.

Sea $n\ge 2$ un entero positivo. Hay $n$ polinomios de coeficientes reales $P_1(x),P_2(x),\cdots ,P_n(x)$ que no son todos iguales, y sus coeficientes principales son positivos. Demuestre que $$\deg(P_1^n+P_2^n+\cdots +P_n^n-nP_1P_2\cdots P_n)\ge (n-2)\max_{1\le i\le n}(\deg P_i)$$ y encuentre cuándo se cumple la igualdad.

Sean $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo $\Omega$ tal que $AB<CD$ . Suponga que $AC$ se encuentra con $BD$ en $E$ , $AD$ se encuentra con $BC$ en $F$ , y $\Omega$ se encuentra con $(FAE)$ , $(FBE)$ en $X$ , $Y$ , respectivamente. Demuestre que si $XY$ es el diámetro de $\Omega$ , entonces $XY$ es perpendicular a $EF$ .

$ABCD$ es un cuadrilátero convexo, ambos $\angle ABC$ y $\angle BCD$ agudos. $E$ es un punto dentro de $ABCD$ satisfaciendo $AE=DE$ , y $X, Y$ son la intersección de $AD$ y $CE, BE$ respectivamente, pero no $X=A$ o $Y=D$ . Si $ABEX$ y $CDEY$ son ambos cuadriláteros inscritos, probar que la distancia entre $E$ y las líneas $AB, BC, CD$ son todas iguales.

Se da un conjunto finito $\{a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n\}=\{1, 2, …, 2n\}$. Si $a_1<a_2<...<a_n$ y $b_1>b_2>...>b_n$ , mostrar que $$\sum_{i=1}^n |a_i-b_i|=n^2$$