Llame a un entero positivo desafiante si puede ser expresado como $2^a(2^b+1)$ , donde $a,b$ son enteros positivos. Demuestre que si $X$ es un conjunto de números desafiantes menores que $2^n$ ( $n$ es un entero positivo dado) y $|X|\ge \frac{4}{3}(n-1)$ , existen dos subconjuntos disjuntos $A,B\subset X$ tales que $|A|=|B|$ y $\sum_{a\in A}a=\sum_{b \in B}b$ .

Hay $ 2010 $ personas sentadas alrededor de una mesa redonda. Primero, le damos a una persona $ x $ un caramelo. Luego, le damos caramelos a la persona $1$ , la persona $1+2$ , la persona $ 1+2+3$ , $\cdots$ , y la persona $1+2+\cdots + 2009 $ en el sentido de las agujas del reloj desde $ x $ . Hallar el número de personas que obtienen al menos un caramelo.

Hay $ 2000 $ personas, y algunas de ellas se han llamado entre sí. Dos personas pueden llamarse entre sí como máximo $1$ vez. Para dos grupos de tres personas cualesquiera $ A$ y $ B $ tales que $ A \cap B = \emptyset $ , existe una persona de cada uno de $A$ y $B$ que no se han llamado entre sí. Demostrar que el número de dos personas que se llamaron entre sí es menor que $ 201000 $ .

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo cíclico. Sea $ E $ la intersección de las líneas $ AB, CD $ . $ P $ es la intersección de la línea que pasa por $ B $ y es perpendicular a $ AC $ , y la línea que pasa por $ C $ y es perpendicular a $ BD$. $ Q $ es la intersección de la línea que pasa por $ D $ y es perpendicular a $ AC $ , y la línea que pasa por $ A $ y es perpendicular a $ BD $ . Demostrar que los tres puntos $ E, P, Q $ son colineales.

Hay $ n ( \ge 4 ) $ personas y algunas personas se dan la mano entre sí. Dos personas pueden darse la mano como máximo 1 vez. Para cuatro personas arbitrarias $ A, B, C, D$ tales que $ (A,B), (B,C), (C,D) $ se dieron la mano, entonces uno de $ (A,C), (A,D), (B,D) $ se dio la mano entre sí. Demostrar las siguientes afirmaciones. (a) Demostrar que $ n $ personas se pueden dividir en dos grupos, $ X, Y ( \ne \emptyset )$ , tales que para todo $ (x,y) $ donde $ x \in X $ e $ y \in Y $ , $ x $ e $ y $ se dieron la mano o $ x $ e $ y $ no se dieron la mano. (b) Existe dos personas $ A , B $ tales que el conjunto de personas que no son $ A $ y $ B $ que se dieron la mano con $ A $ es el mismo que el conjunto de personas que no son $ A $ y $ B $ que se dieron la mano con $ B $ .

Sea $ I $ el incentro del triángulo $ ABC $ . La circunferencia inscrita toca a $ BC, CA, AB$ en los puntos $ P, Q, R $ . Una circunferencia que pasa por $ B , C $ es tangente a la circunferencia $I$ en el punto $ X $ , una circunferencia que pasa por $ C , A $ es tangente a la circunferencia $I$ en el punto $ Y $ , y una circunferencia que pasa por $ A , B $ es tangente a la circunferencia $I$ en el punto $ Z $ , respectivamente. Demostrar que las tres líneas $ PX, QY, RZ $ son concurrentes.

Sea $U$ un conjunto de $m$ triángulos. Demuestre que existe un subconjunto $W$ de $U$ que satisface lo siguiente. (i). El número de triángulos en $W$ es al menos $0.45m^{\frac{4}{5}}$ (ii) No hay puntos $A, B, C, D, E, F$ tales que los triángulos $ABC$ , $BCD$ , $CDE$ , $DEF$ , $EFA$ , $FAB$ estén todos en $W$.

Un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ tiene incentro $I$, y el incírculo golpea $BC, CA, AB$ en $D, E, F$. Las líneas $BI, CI, BC, DI$ golpea $EF$ en $K, L, M, Q$ y la línea que conecta el punto medio del segmento $CL$ y $M$ golpea el segmento de línea $CK$ en $P$. Demuestre que $$PQ=\frac{AB \cdot KQ}{BI}$$

Si $x,y,z$ satisfacen $x^2+y^2+z^2=1$, encuentre el valor máximo posible de $$(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)$$

Demuestre que para todos los racionales $x,y$, $x-\frac{1}{x}+y-\frac{1}{y}=4$ no es cierto.