Hay $n ( \ge 3) $ estudiantes en una clase. Algunos estudiantes son amigos entre sí, y la amistad es siempre mutua. Hay $ s ( \ge 1 ) $ parejas de dos estudiantes que son amigos, y $ t ( \ge 1 ) $ tríos de tres estudiantes que son amigos entre sí. Para dos estudiantes $ x, y $ defina $ d(x,y)$ como el número de estudiantes que son amigos tanto de $ x $ como de $ y $. Pruebe que existen tres estudiantes $ u, v, w $ que son amigos entre sí y satisfacen \[ d(u,v) + d(v,w) + d(w,u) \ge \frac{9t}{s} . \]

Sea $n$ un entero positivo. Suponga que la ecuación diofántica \[z^n = 8 x^{2009} + 23 y^{2009} \] tiene únicamente la solución entera $(x,y,z)=(0,0,0)$. Encuentre el posible valor mínimo de $n$.

Sean $I, O$ el incentro y el circuncentro del triángulo $ABC$, y $D,E,F$ los circuncentros de los triángulos $BIC, CIA, AIB$. Sean $P, Q, R$ los puntos medios de los segmentos $DI, EI, FI$. Pruebe que el circuncentro del triángulo $PQR$, $M$, es el punto medio del segmento $IO$.

Me he encontrado con un desafiante problema de teoría de grafos. Aproximadamente traducido, dice algo como esto: Hay n líneas dibujadas en un plano; no hay dos líneas paralelas entre sí, y no hay tres líneas que se crucen en un solo punto. Esas líneas dividirían el plano en muchas 'áreas'. Suponga que seleccionamos un punto de cada área. Además, si dos áreas comparten un lado común, conectamos los dos puntos pertenecientes a las áreas respectivas con una línea. Se habrá hecho un grafo que consta de puntos y líneas. Encuentre todos los posibles 'n' que harán que exista un circuito hamiltoniano para el grafo dado

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que $2f(x^2+y^2)=(x+f(y))^2+f(x-f(y))^2$ para todos los $x,y\in\mathbb{R}$ .

Encuentre todas las secuencias estrictamente crecientes $\{a_n\}_{n=0}^\infty$ de enteros positivos tales que para todos los enteros positivos $k,m,n$ $$\frac{a_{n+1} +a_{n+2} +\dots +a_{n+k}}{k+m}$$ no es un entero mayor que $2020$ .

$\square ABCD$ es un cuadrilátero con $\angle A=2\angle C <90^\circ$ . $I$ es el incentro de $\triangle BAD$ , y la línea que pasa por $I$ y es perpendicular a $AI$ se encuentra con los rayos $CB$ y $CD$ en $E,F$ respectivamente. Denote $O$ como el circuncentro de $\triangle CEF$ . La línea que pasa por $E$ y es perpendicular a $OE$ se encuentra con el rayo $OF$ en $Q$ , y la línea que pasa por $F$ y es perpendicular a $OF$ se encuentra con el rayo $OE$ en $P$ . Demuestre que el círculo con diámetro $PQ$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ .

$I$ es el incentro de un triángulo dado $\triangle ABC$ . Las bisectrices de $ABC$ se encuentran con los lados en $D,E,F$ , y $EF$ se encuentra con $(ABC)$ en $L$ y $T$ ( $F$ está en el segmento $LE$ . ). Suponga que $M$ es el punto medio de $BC$ . Demuestre que si $DT$ es tangente al incírculo de $ABC$ , entonces $IL$ biseca $\angle MLT$ .

Encuentre todos los polinomios $Q$ con coeficientes enteros tales que $Q(n)\ge 1$ $\forall n\in \mathbb{Z}_+$ . $Q(mn)$ y $Q(m)Q(n)$ tienen el mismo número de divisores primos $\forall m,n\in\mathbb{Z}_+$ .

$X$ es un conjunto de $2020$ números reales distintos. Demuestre que existen $a,b\in \mathbb{R}$ y $A\subset X$ tales que $$\sum_{x\in A}(x-a)^2 +\sum_{x\in X\backslash A}(x-b)^2\le \frac{1009}{1010}\sum_{x\in X}x^2$$