Suponga que la secuencia $\{a_n\}$ de enteros positivos satisface las siguientes condiciones: Para un entero $i \geq 2022$ , defina $a_i$ como el entero positivo más pequeño $x$ tal que $x+\sum_{k=i-2021}^{i-1}a_k$ es un cuadrado perfecto. Existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $a_n=4\times 2022-3$ . Demuestra que existe un entero positivo $N$ tal que $\sum_{k=n}^{n+2021}a_k$ es constante para cada entero $n \geq N$ . Y determine el valor de $\sum_{k=N}^{N+2021}a_k$ .