$n\geq 4$ es un número entero. Para cualquier permutación $x_1,x_2,\cdots,x_n$ de los números $1,2 \cdots,n$ escribimos el número\n$$\nx_1+2x_2+\cdots+nx_n\n$$\nen la pizarra. Calcule el número total de números distintos escritos en la pizarra.

Se da un número entero $n\geq 2$ y números reales $x_1<x_2<\cdots < x_n$. $f: \mathbb R \to \mathbb R$ es una función definida como\n$$\nf(x) = \left |\n\dfrac{(x-x_2)(x-x_3)\cdots (x-x_n)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\cdots (x_1-x_n)}\n\right | + \cdots + \left |\n\dfrac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})}\n\right |.\n$$\nDemuestre que existe $i\in \{1,2,\cdots,n-1\}$ tal que para todo $x\in (x_i,x_{i+1})$ se tiene $f(x)< \sqrt n$.

Se da una función sobreyectiva $g: \mathbb{C} \to \mathbb C$. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{C} \to \mathbb C$ tales que para todo $x,y\in \mathbb C$ tenemos\n$$\n|f(x)+g(y)| = | f(y) + g(x)|.\n$$

Para números reales positivos $a,b,c,d$ tales que\n$$\n\dfrac{a^2}{b+c+d} + \dfrac{b^2}{a+c+d} + \n\dfrac{c^2}{a+b+d} = \dfrac{3d^2}{a+b+c}\n$$\ndemuestre que\n$$\n\dfrac{3}{a}+ \dfrac{3}{b} + \dfrac{3}{c}+ \dfrac{3}{d} \geq \dfrac{16}{a+b+2d} + \dfrac{16}{b+c+2d} +\n\dfrac{16}{a+c+2d}.\n$$

Considere un triángulo escaleno acutángulo $\triangle{ABC}$. La bisectriz interior de $A$ interseca a $BC$ en $E$ y el arco menor de $\overarc {BC}$ en la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ en $M$. Suponga que $D$ es un punto en el arco menor de $\overarc {BC}$ tal que $ED=EM$. $P$ es un punto en el segmento de línea de $AD$ tal que $\angle ABP=\angle ACP \not= 0$. $O$ es el circuncentro de $\triangle{ABC}$. Demuestre que $OP \perp AM$.

Dos personas inteligentes juegan un juego en la tabla de $1403 \times 1403$ con $1403^2$ celdas. La primera persona en cada turno elige una celda que no seleccionó antes y dibuja un segmento de línea vertical desde la parte superior hasta la parte inferior de la celda. La segunda persona en cada turno elige una celda que no seleccionó antes y dibuja un segmento de línea horizontal desde la izquierda hacia la derecha de la celda. Después de $1403^2$ pasos el juego terminará. La primera persona obtiene puntos iguales al segmento de línea vertical más largo y, de manera análoga, la segunda persona obtiene puntos iguales al segmento de línea horizontal más largo. Al final, la persona que obtenga más puntos ganará el juego. ¿Cuál será el resultado del juego?

Suponga que se da $T\in \mathbb N$. Encuentre todas las funciones $f:\mathbb Z \to \mathbb C$ tales que, para todo $m\in \mathbb Z$ tenemos $f(m+T)=f(m)$ y:\n$$\forall a,b,c \in \mathbb Z: f(a)\overline{f(a+b)f(a+c)}f(a+b+c)=1.$$ Donde $\overline{a}$ es el conjugado complejo de $a$.

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Un círculo que pasa por $A,B$ es tangente al segmento $CD$ en el punto $E$ . Otro círculo que pasa por $C,D$ es tangente a $AB$ en el punto $F$ . El punto $G$ es el punto de intersección de $AE,DF$ , y el punto $H$ es el punto de intersección de $BE$ , $CF$ . Demuestra que los incentros de los triángulos $AGF$ , $BHF$ , $CHE$ , $DGE$ se encuentran en un círculo.

El cuadrilátero $ABCD$ está circunscrito alrededor de un círculo. Las diagonales $AC,BD$ no son perpendiculares entre sí. Las bisectrices de los ángulos entre estas diagonales intersecan los segmentos $AB,BC,CD$ y $DA$ en los puntos $K,L,M$ y $N$ . Dado que $KLMN$ es cíclico, demuestra que también lo es $ABCD$ .

Encuentra todos los valores posibles del entero $n > 3$ tal que haya un $n$ - gono convexo en el que cada diagonal es la bisectriz perpendicular de al menos otra diagonal.