Decimos que el punto $i$ en la permutación $\sigma$ está en curso si para cada $j<i$ tenemos $\sigma (j)<\sigma (i)$ . a) pruebe que el número de permutaciones del conjunto $\{1,....,n\}$ con exactamente $r$ puntos en curso es $s(n,r)$ . b) pruebe que el número de palabras de $n$ letras con letras $\{a_1,....,a_k\},a_1<.....<a_k$ con exactamente $r$ puntos en curso es $\sum_{m}\binom{k}{m} S(n,m) s(m,r)$ .

Suponga que $p(n)$ es el número de particiones de un número natural $n$ . Pruebe que existe $c>0$ tal que $P(n)\ge n^{c \cdot \log n}$ .

Pruebe que el número de permutaciones tales que el orden de cada elemento es un múltiplo de $d$ es $\frac{n!}{(\frac{n}{d})!d^{\frac{n}{d}}} \prod_{i=0}^{\frac{n}{d}-1} (id+1)$ .

Pruebe que si el grafo $G$ es un árbol, entonces existe un vértice que es común entre todos los caminos más largos.

Con la ayuda de la parte (b), demuestre que el siguiente teorema es verdadero: Dos ladrones quieren dividir un collar abierto que tiene $d$ diferentes tipos de piedras, donde el número de piedras de cada tipo es par, de tal manera que cada uno de los ladrones recibe el mismo número de piedras de cada tipo. Demuestre que los dos ladrones pueden lograr esto cortando el collar en a lo sumo $d$ lugares.

Un súper número es una secuencia de números $0,1,2,\ldots,9$ tal que tiene infinitos dígitos a la izquierda. Por ejemplo, $\ldots 3030304$ es un súper número. Ten en cuenta que todos los enteros positivos son súper números, que tienen ceros antes de sus dígitos originales (por ejemplo, podemos representar el número $4$ como $\ldots, 00004$ ). Al igual que los enteros positivos, podemos sumar y multiplicar súper números. Por ejemplo: \n\[ \begin{array}{cc}& \ \ \ \ldots 3030304 \\ &+ \ldots4571378\\ &\overline{\qquad \qquad \qquad }\\ & \ \ \ \ldots 7601682 \end{array} ]\nAnd \n\[ \begin{array}{cl}& \ \ \ \ldots 3030304 \\ &\times \ldots4571378\\ &\overline{\qquad \qquad \qquad }\\ & \ \ \ \ldots 4242432 \\ & \ \ \ \ldots 212128 \\ & \ \ \ \ldots 90912 \\ & \ \ \ \ldots 0304 \\ & \ \ \ \ldots 128 \\ & \ \ \ \ldots 20 \\ & \ \ \ \ldots 6 \\ &\overline{\qquad \qquad \qquad } \\ & \ \ \ \ldots 5038912 \end{array} ]\na) Supón que $A$ es un súper número. Demuestra que existe un súper número $B$ tal que $A+B=\stackrel{\leftarrow}{0}$ (Nota: $\stackrel{\leftarrow}{0}$ significa un súper número que todos sus dígitos son cero).\nb) Encuentra todos los súper números $A$ para los cuales existe un súper número $B$ tal que $A \times B=\stackrel{\leftarrow}{0}1$ (Nota: $\stackrel{\leftarrow}{0}1$ significa el súper número $\ldots 00001$ ).\nc) ¿Es cierto que si $A \times B= \stackrel{\leftarrow}{0}$ , entonces $A=\stackrel{\leftarrow}{0}$ o $B=\stackrel{\leftarrow}{0}$ ? Justifica tu respuesta.

En un tetraedro sabemos que la suma de los ángulos de todos los vértices es $180^\circ.$ (por ejemplo, para el vértice $A$, tenemos $\angle BAC + \angle CAD + \angle DAB=180^\circ.$ ) Demuestra que las caras de este tetraedro son cuatro triángulos congruentes.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que podamos dividir el conjunto $\{1,2,3,\ldots,n\}$ en tres conjuntos con la misma suma de miembros.

Encuentra todos los números naturales $x,y>1$ y primos $p$ que satisfacen $$\frac{x^2-1}{y^2-1}=(p+1)^2. $$

Sahand y Gholam juegan en una tabla de $1403\times 1403$. Inicialmente todas las celdas cuadradas unitarias son blancas. Para cada fila y columna hay una llave para ella (totalmente 2806 llaves). Comenzando con Sahand, los jugadores se turnan alternativamente para presionar un botón que aún no se ha presionado, hasta que se presionan todos los botones. Cuando Sahand presiona un botón, todas las celdas de esa fila o columna se vuelven negras, independientemente de los colores anteriores. Cuando Gholam presiona un botón, todas las celdas de esa fila o columna se vuelven rojas, independientemente de los colores anteriores. Finalmente, la puntuación de Gholam es igual al número de cuadrados rojos menos el número de cuadrados negros y la puntuación de Sahand es igual al número de cuadrados negros menos el número de cuadrados rojos. Determina el número mínimo de puntuaciones que Gholam puede garantizar sin si ambos jugadores juegan sus mejores movimientos.