Un físico loco descubrió un nuevo tipo de partícula a la que llamó imon, después de que algunos de ellos aparecieran misteriosamente en su laboratorio. Algunos pares de imones en el laboratorio pueden estar entrelazados, y cada imon puede participar en muchas relaciones de entrelazamiento. El físico ha encontrado una forma de realizar los siguientes dos tipos de operaciones con estas partículas, una operación a la vez.\n(i) Si algún imon está entrelazado con un número impar de otros imones en el laboratorio, entonces el físico puede destruirlo.\n(ii) En cualquier momento, puede duplicar toda la familia de imones en el laboratorio creando una copia $I'$ de cada imon $I$. Durante este procedimiento, las dos copias $I'$ y $J'$ se entrelazan si y sólo si los imones originales $I$ y $J$ están entrelazados, y cada copia $I'$ se entrelaza con su imon original $I$; no ocurren ni desaparecen otros entrelazamientos en este momento.\nDemostrar que el físico puede aplicar una secuencia de tales operaciones que resulten en una familia de imones, de los cuales ninguno está entrelazado.

Encuentra el menor entero positivo tal que la suma de sus dígitos es $2011$ y el producto de sus dígitos es una potencia de $6$.

Resuelve en enteros positivos la ecuación $1005^x + 2011^y = 1006^z$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y puntos $E$ y $F$ en los lados $AB,CD$ tales que $\tfrac{AB}{AE}=\tfrac{CD}{DF}=n$. Si $S$ es el área de $AEFD$ demuestra que ${S\leq\frac{AB\cdot CD+n(n-1)AD^2+n^2DA\cdot BC}{2n^2}}$

Dentro del cuadrado ${ABCD}$, se construye el triángulo equilátero $\vartriangle ABE$. Sea ${M}$ un punto interior del triángulo $\vartriangle ABE$ tal que $MB=\sqrt{2}$, $MC=\sqrt{6}$, $MD=\sqrt{5}$ y ${ME=\sqrt{3}}$. Encuentra el área del cuadrado ${ABCD}$.

El punto ${D}$ se encuentra en el lado ${BC}$ de $\vartriangle ABC$. Los circuncentros de $\vartriangle ADC$ y $\vartriangle BAD$ son ${O_1}$ y ${O_2}$, respectivamente y ${O_1O_2\parallel AB}$. El ortocentro de $\vartriangle ADC$ es ${H}$ y ${AH=O_1O_2}.$ Encuentra los ángulos de $\vartriangle ABC$ si $2m\left( \angle C \right)=3m\left( \angle B \right).$

Sea $ABC$ un triángulo en el que $BL$ es la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ $\left( L\in AC \right)$, ${AH}$ es una altura de $\vartriangle ABC$ $\left( H\in BC \right)$ y ${M}$ es el punto medio del lado ${AB}$. Se sabe que los puntos medios de los segmentos ${BL}$ y ${MH}$ coinciden. Determina los ángulos internos del triángulo $\vartriangle ABC$.

Sean $AD, BF$ y ${CE}$ las alturas de $\vartriangle ABC$. Una línea que pasa por ${D}$ y es paralela a ${AB}$ intersecta la línea ${EF}$ en el punto ${G}$. Si ${H}$ es el ortocentro de $\vartriangle ABC$, encuentra el ángulo ${\angle{CGH}}$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. En la extensión del lado ${CA}$ consideramos el punto ${D}$ tal que ${AD<AC}$. La bisectriz perpendicular del segmento ${BD}$ se encuentra con las bisectrices interna y externa del ángulo $\angle BAC$ en los puntos ${E}$ y ${Z}$, respectivamente. Demuestra que los puntos ${A, E, D, Z}$ son concíclicos.

Decide si es posible considerar $2011$ puntos en un plano tal que la distancia entre cada dos de estos puntos es diferente de $1$ y cada círculo unitario centrado en uno de estos puntos deja exactamente $1005$ puntos fuera del círculo.