157 a) Considere la función $$f(x,y) = x^2 + xy + y^2$$. Demuestre que para todo punto $(x,y)$ existen enteros $(m,n)$ tales que $$f((x-m),(y-n)) \le 1/2$$. b) Denotemos con $g(x,y)$ el menor valor posible de $f((x-m),(y-n))$ para todos los enteros $m,n$. La afirmación a) era equivalente al hecho de que $g(x,y) \le 1/2$. Demuestre que, de hecho, $$g(x,y) \le 1/3$$. Encuentre todos los puntos $(x,y)$ donde $g(x,y)=1/3$. c) Considere la función $$f_a(x,y) = x^2 + axy + y^2 \,\,\, (0 \le a \le 2)$$. Encuentre cualquier $c$ tal que $g_a(x,y) \le c$. Intente obtener la estimación más cercana.

Dados los primeros $1000000000$ números naturales. Reemplazamos cada número por la suma de sus dígitos y repetimos este procedimiento hasta que queden $1000000000$ números de un solo dígito. ¿Hay más " $1$ " -s o " $2$ " -s?

044 Dado un conjunto arbitrario de $2k+1$ enteros $\{a_1,a_2,...,a_{2k+1}\}$. Formamos un nuevo conjunto $$ \{(a_1+a_2)/2, (a_2+a_3)/2, ..., (a_{2k}+a_{2k+1})/2, (a_{2k+1}+a_1)/2\}$$ y uno nuevo, siguiendo la misma regla, y así sucesivamente... Demuestre que si obtenemos solo números enteros, el conjunto inicial consistía únicamente en enteros iguales.

041 Las dos alturas en el triángulo no son menores que los lados respectivos. Encuentre los ángulos.

068 Dados dos números primos entre sí $p>0$ y $q>0$. Un entero $n$ se llama "bueno" si podemos representarlo como $n = px + qy$ con enteros no negativos $x$ e $y$, y "malo" en el caso contrario. a) Demuestre que existe un entero $c$ tal que en un par $\{n, c-n\}$ siempre uno es "bueno" y el otro es "malo". b) ¿Cuántos números "malos" existen?

067 a) Un determinado comité se ha reunido $40$ veces. Hubo $10$ miembros en cada reunión. Ninguna pareja se ha encontrado en las reuniones dos veces. Demuestre que no hubo menos de $60$ miembros en el comité. b) Demuestre que no se pueden construir más de $30$ subcomités de $5$ miembros a partir de un comité de $25$ miembros, de tal manera que ningún par de subcomités tenga más de un miembro en común.

066 El turista ha llegado a Moscú en tren. Durante todo el día vagó aleatoriamente por las calles. Luego cenó en una cafetería de la plaza y decidió regresar a la estación únicamente a través de las calles por las que había pasado un número impar de veces. Demuestre que siempre es capaz de hacerlo.

070 Demuestre que la suma de las longitudes de las aristas de un poliedro excede el triple de su diámetro (la distancia entre los dos vértices más alejados).

143 Los vértices de un $n$-gono regular están marcados con algunos colores (cada vértice con un color) de tal manera que los vértices de un mismo color representan un polígono regular. Demuestre que existen dos polígonos iguales entre los polígonos más pequeños.

064 ¿Es posible colocar $1965$ puntos en un cuadrado de lado $1$ de tal manera que cualquier rectángulo de área $1/200$ con lados paralelos a los lados del cuadrado contenga al menos uno de estos puntos en su interior?