050 El cuadrilátero $ABCD$ está circunscrito alrededor del círculo con centro $O$. Demuestre que $$\angle AOB+ \angle COD=180^o. $$

051 Dados los números naturales $a,b,n$. Se sabe que para todo número natural $k$ ($k\ne b$), el número $a-k^n$ es divisible por $b-k$. Demuestre que $$a=b^n$$

006 a) Los puntos $A$ y $B$ se mueven uniformemente y con igual velocidad angular a lo largo de las circunferencias con centros $O_a$ y $O_b$ (ambos en sentido horario). Demuestre que un vértice $C$ del triángulo equilátero $ABC$ también se mueve uniformemente a lo largo de una cierta circunferencia. b) La distancia desde el punto $P$ a los vértices del triángulo equilátero $ABC$ es igual a $|AP|=2, |BP|=3$. Encuentre el valor máximo de $CP$.

009 Sean $a, b, p$ enteros arbitrarios. Demuestre que siempre existen $k$ y $l$ primos entre sí (es decir, que no tienen divisor común) tales que $(ak + bl)$ es divisible por $p$.

10 Sea $m$ un entero, $m \ge 2$. Cada estudiante en una escuela practica a lo sumo $m$ pasatiempos. Entre cualesquiera $m$ estudiantes existen dos estudiantes que tienen un pasatiempo en común. Encuentre el número mínimo de estudiantes para el cual debe existir un pasatiempo que sea practicado por al menos $3$ estudiantes.

052 Dada una expresión $$x_1 : x_2 : ... : x_n$$ ( $:$ significa división). Podemos colocar los paréntesis como queramos. ¿Cuántas expresiones podemos obtener?

3 Considere una tabla con un número real en cada celda. En un paso, uno puede cambiar el signo de los números en una fila o en una columna simultáneamente. Demuestre que se puede obtener una tabla con sumas no negativas en cada fila y en cada columna.

053 Debemos dividir un cubo en $k$ tetraedros que no se solapen. ¿Para qué valor mínimo de $k$ es posible?

028 Ocho hombres participaron en el torneo de ajedrez. (Cada uno se enfrenta a cada uno, se permiten empates, otorgando $1/2$ de punto, el ganador obtiene $1$). Todos tienen un número diferente de puntos. El segundo obtuvo tantos puntos como los cuatro participantes más débiles juntos. ¿Cuál fue el resultado de la partida entre el tercer clasificado y el ajedrecista que ocupó el séptimo lugar?

115 El punto $E$ se encuentra sobre la base $[AD]$ del trapecio $ABCD$. Los perímetros de los triángulos $ABE$, $BCE$ y $CDE$ son iguales. Demuestre que $|BC| = |AD|/2$.