044 Dado un conjunto arbitrario de $2k+1$ enteros $\{a_1,a_2,...,a_{2k+1}\}$. Formamos un nuevo conjunto $$ \{(a_1+a_2)/2, (a_2+a_3)/2, ..., (a_{2k}+a_{2k+1})/2, (a_{2k+1}+a_1)/2\}$$ y uno nuevo, siguiendo la misma regla, y así sucesivamente... Demuestre que si obtenemos solo números enteros, el conjunto inicial consistía únicamente en enteros iguales.

062 ¿Cuál es la longitud máxima posible del segmento que cortan los lados del triángulo en la tangente al círculo inscrito, trazada paralela a la base, si el perímetro del triángulo es igual a $2p$?

028 Ocho hombres participaron en el torneo de ajedrez. (Cada uno se enfrenta a cada uno, se permiten empates, otorgando $1/2$ de punto, el ganador obtiene $1$). Todos tienen un número diferente de puntos. El segundo obtuvo tantos puntos como los cuatro participantes más débiles juntos. ¿Cuál fue el resultado de la partida entre el tercer clasificado y el ajedrecista que ocupó el séptimo lugar?

131 ¿Cuántos lados de un polígono convexo pueden ser iguales a su diagonal más larga?

089 Encuentre todos los enteros $x,y$ que satisfacen la ecuación $x^2+x=y^4+y^3+y^2+y$.

091 "KING-THE SUICIDER" Dado un tablero de ajedrez de $1000\times 1000$, $499$ torres blancas y un rey negro. Demuestre que no importa ni la situación inicial ni la forma en que jueguen las blancas, el rey siempre puede ponerse en jaque en un número finito de movimientos.

087 a) ¿Puede usted colocar los números $0,1,...,9$ en la circunferencia de tal manera que la diferencia entre cada dos vecinos sea $3$, $4$ o $5$? b) La misma pregunta, pero para los números $0,1,...,13$.

086 a) La lámpara de un faro ilumina un ángulo de $90$ grados. Demuestre que es posible orientar las lámparas de cuatro faros colocados arbitrariamente de tal manera que todo el plano quede iluminado. b) Hay ocho lámparas en ocho puntos del espacio. Cada una puede iluminar un octante (un polígono espacial de tres caras con tres aristas mutuamente ortogonales). Demuestre que es posible orientarlas de tal manera que todo el espacio quede iluminado.

088 Demuestre que existe un número divisible por $5^{1000}$ que no contiene ningún cero en su notación decimal.

085 a) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que la suma del número dado y el número obtenido no puede ser igual a $999...9$ ($1967$ nueves). b) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que si la suma del número dado y el número obtenido es igual a $1010$, entonces el número dado era divisible por $10$.