Sean $x,y$ y $z$ números reales positivos tales que $xyz=1$ . Demostrar que \[ \frac{x^{3}}{(1 + y)(1 + z)}+\frac{y^{3}}{(1 + z)(1 + x)}+\frac{z^{3}}{(1 + x)(1 + y)} \geq \frac{3}{4}. \]

Sean $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}$ números reales mayores o iguales que 1. Demuestre que \[ \frac{1}{r_{1} + 1} + \frac{1}{r_{2} + 1} + \cdots +\frac{1}{r_{n}+1} \geq \frac{n}{ \sqrt[n]{r_{1}r_{2} \cdots r_{n}}+1}. \]

Sean $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ números reales positivos tales que $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}<1$ . Demuestre que \[ \frac{a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \left[ 1 - (a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}) \right] }{(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})( 1 - a_{1})(1 - a_{2}) \cdots (1 - a_{n})} \leq \frac{1}{ n^{n+1}}. \]

Sea $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots $ una secuencia creciente de enteros no negativos tal que cada entero no negativo puede ser expresado unicamente en la forma $a_{i}+2a_{j}+4a_{k}$ , donde $i,j$ y $k$ no son necesariamente distintos. Determine $a_{1998}$ .

Demuestre que para cada entero positivo $n$ , existe un entero positivo con las siguientes propiedades: Tiene exactamente $n$ dígitos. Ninguno de los dígitos es 0. Es divisible por la suma de sus dígitos.

Para cualquier entero positivo $n$ , sea $\tau (n)$ denota el número de sus divisores positivos (incluyendo 1 y él mismo). Determine todos los enteros positivos $m$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{\tau (n^{2})}{\tau (n)}=m$ .

Determinar el menor valor posible de $f(1998),$ donde $f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}$ es una función tal que para todo $m,n\in {\Bbb N}$ , \[f( n^{2}f(m)) =m( f(n)) ^{2}. \]

Para dos enteros no negativos $n$ y $k$ que satisfacen $n\geq k$ , definimos el número $c(n,k)$ como sigue: - $c(n,0)=c(n,n)=1$ para todo $n\geq 0$ ; - $c(n+1,k)=2^{k}c(n,k)+c(n,k-1)$ para $n\geq k\geq 1$ . Demostrar que $c(n,k)=c(n,n-k)$ para todo $n\geq k\geq 0$ .

Determine el entero más pequeño $n\geq 4$ para el cual uno puede elegir cuatro números diferentes $a,b,c$ y $d$ de cualquier $n$ enteros distintos tales que $a+b-c-d$ es divisible por $20$.

Determine todos los pares $(a,b)$ de números reales tales que $a \lfloor bn \rfloor =b \lfloor an \rfloor $ para todos los enteros positivos $n$. (Note que $\lfloor x\rfloor $ denota el mayor entero menor o igual que $x$.)