Sea $\alpha + \beta +\gamma = \pi$. Pruebe que $\sum_{cyc}{\sin 2\alpha} = 2\cdot \left(\sum_{cyc}{\sin \alpha}\right)\cdot\left(\sum_{cyc}{\cos \alpha}\right)- 2\sum_{cyc}{\sin \alpha}$.

Cada lado de un $\triangle ABC$ arbitrario se divide en partes iguales, y se dibujan líneas paralelas a $AB,BC,CA$ a través de cada uno de estos puntos, cortando así $\triangle ABC$ en pequeños triángulos. A los puntos se les asigna un número de la siguiente manera: $(1)$ A $A,B,C$ se les asigna $1,2,3$ respectivamente $(2)$ A los puntos en $AB$ se les asigna $1$ o $2$ $(3)$ A los puntos en $BC$ se les asigna $2$ o $3$ $(4)$ A los puntos en $CA$ se les asigna $3$ o $1$ Pruebe que debe existir un triángulo pequeño cuyos vértices estén marcados por $1,2,3$.

Sea $\{x_i\}, 1\le i\le 6$ un conjunto dado de seis enteros, ninguno de los cuales es divisible por $7$. $(a)$ Pruebe que al menos una de las expresiones de la forma $x_1\pm x_2\pm x_3\pm x_4\pm x_5\pm x_6$ es divisible por $7$, donde los signos $\pm$ son independientes entre sí. $(b)$ Generalice el resultado a todo número primo.

Sean $ABCD$ y $A'B'C'D'$ dos cuadrados arbitrarios en el plano que están orientados en la misma dirección. Pruebe que el cuadrilátero formado por los puntos medios de $AA',BB',CC',DD'$ es un cuadrado.

Para $n$ par, demuestra que $\sum_{i=1}^{n}{\left((-1)^{i+1}\cdot\frac{1}{i}\right)}=2\sum_{i=1}^{n/2}{\frac{1}{n+2i}}$.

Sea $n$ un entero positivo. Una secuencia de $n$ enteros positivos (no necesariamente distintos) se llama completa si satisface la siguiente condición: para cada entero positivo $k\geq2$, si el número $k$ aparece en la secuencia entonces también lo hace el número $k-1$, y además la primera ocurrencia de $k-1$ viene antes de la última ocurrencia de $k$. Para cada $n$, ¿cuántas secuencias completas hay?

Para $n$ un entero positivo impar, los cuadrados unitarios de un tablero de ajedrez de $n\times n$ se colorean alternativamente de blanco y negro, con las cuatro esquinas coloreadas de negro. Un it tromino es una forma de $L$ formada por tres cuadrados unitarios conectados. ¿Para qué valores de $n$ es posible cubrir todos los cuadrados negros con trominos no superpuestos? Cuando es posible, ¿cuál es el número mínimo de trominos necesarios?

Demostrar que $\frac{20}{60} <\sin 20^{\circ} < \frac{21}{60}.$

Se dibujan $3n$ líneas en el plano ( $n > 1$ ), de tal manera que no hay dos de ellas paralelas y no hay tres de ellas concurrentes. Demostrar que, si $2n$ de las líneas son de color rojo y las otras $n$ líneas azules, hay al menos dos regiones del plano tales que todos sus bordes son rojos. Nota: para cada región, todos sus bordes están contenidos en el conjunto original de líneas, y ninguna línea pasa por la región.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$, sea $M$ el punto medio de su lado $AC$, y sea $Z$ la recta que pasa por $C$ perpendicular a $AB$. El círculo que pasa por los puntos $B$, $C$ y $M$ interseca a la recta $Z$ en los puntos $C$ y $Q$. Encuentra el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en términos de $m = CQ$.