Un triángulo $ABC$ con $AB < AC$ está inscrito en un círculo $\omega$. Los círculos $\gamma_1$ y $\gamma_2$ tocan las líneas $AB$ y $AC$, y sus centros se encuentran en la circunferencia de $\omega$. Demuestra que $C$ se encuentra en una tangente externa común a $\gamma_1$ y $\gamma_2$.

En una secuencia $a_1, a_2, ..$ de números reales, el producto $a_1a_2$ es negativo, y para definir $a_n$ para $n > 2$, se elige un par $(i, j)$ entre todos los pares $(i, j), 1 \le i < j < n$, no elegidos antes, de modo que $a_i +a_j$ tenga el valor absoluto mínimo, y luego $a_n$ se establece igual a $a_i + a_j$. Demuestra que $|a_i| < 1$ para algún $i$.

Sea $ABCDE$ un pentágono tal que $AE = ED$ y $BC = CD$. Se sabe que $\angle BAE + \angle EDC + \angle CBA = 360^o$ y que $P$ es el punto medio de $AB$. Demostrar que el triángulo $ECP$ es recto.

Demostrar que para todo entero $k \ge 2$ existen $k$ números naturales diferentes $n_1$ , $n_2$ , $...$ , $n_k$ tales que: $$\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+...+\frac{1}{n_k}=\frac{3}{17}$$

$x$ e $y$ son números reales tales que $6 - x$ , $3 + y^2$ , $11 + x$ , $14 - y^2$ son mayores que cero. Hallar el máximo de la función $$f(x,y) = \sqrt{(6 -x)(3 + y^2)} + \sqrt{(11 + x)(14 - y^2)}.$$

Sea $C$ una circunferencia, $O$ es su circuncentro, $AB$ es su diámetro y $R$ es cualquier punto en $C$ ($R$ es diferente de $A$ y $B$) Sea $P$ el pie de la perpendicular de $O$ a $AR$, en la línea $OP$ encontramos un punto $Q$, donde $QP$ es $\frac{OP}{2}$ y el punto $Q$ no está en el segmento $OP$. En $Q$, haremos una línea paralela a $AB$ que corta la línea $AR$ en $T$. Denotamos $H$ el punto de intersección de la línea $AQ$ y $OT$. Demuestra que $H$, $B$ y $R$ son colineales.

Tenemos $98$ cartas, en cada una escribiremos uno de los números: $1, 2, 3, 4,...., 97, 98$. Podemos ordenar las $98$ cartas, en una secuencia tal que dos números consecutivos $X$ e $Y$ y el número $X - Y$ es mayor que $48$, determine cómo y de cuántas maneras podemos hacer esta secuencia!!

Encuentra todos los números primos $ p,q,r$ , tales que $ \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1$

Determina el mayor número con $n$ dígitos en la representación decimal que es divisible por $429$ y tiene la suma de todos los dígitos menor o igual que $11$.

Demuestra que $2^n + 3^n$ no es un cubo perfecto para ningún entero positivo $n$.