Se dan $2015$ puntos en un plano tal que de cada cinco puntos podemos elegir dos puntos con distancia menor que $1$ unidad. Demuestra que $504$ de los puntos dados se encuentran en un disco unitario.

Comprobar si existen enteros positivos $ a, b$ y un número primo $p$ tal que $a^3-b^3=4p^2$

Encontrar todos los números primos $a,b,c$ y enteros positivos $k$ que satisfacen la ecuación \[a^2+b^2+16c^2 = 9k^2 + 1.\]

a) Demostrar que el producto de todas las diferencias de posibles parejas de seis enteros positivos dados es divisible por $960$\nb) Demostrar que el producto de todas las diferencias de posibles parejas de seis enteros positivos dados es divisible por $34560$

Un entero positivo se llama repunit, si se escribe solo con unos. El repunit con $n$ dígitos se denotará como $\underbrace{{11\cdots1}}_{n}$ . Demuestre que: α) el repunit $\underbrace{{11\cdots1}}_{n}$ es divisible por $37$ si y solo si $n$ es divisible por $3$ b) existe un entero positivo $k$ tal que el repunit $\underbrace{{11\cdots1}}_{n}$ es divisible por $41$ si $n$ es divisible por $k$

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros que se pueden seleccionar de un conjunto de $2015$ números consecutivos de modo que ninguna suma de dos números seleccionados sea divisible por su diferencia?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ${AB\neq AC}$ . La circunferencia inscrita ${\omega}$ del triángulo toca los lados ${BC, CA}$ y ${AB}$ en ${D, E}$ y ${F}$ , respectivamente. La línea perpendicular levantada en ${C}$ sobre ${BC}$ se encuentra con ${EF}$ en ${M}$ , y similarmente la línea perpendicular levantada en ${B}$ sobre ${BC}$ se encuentra con ${EF}$ en ${N}$ . La línea ${DM}$ se encuentra con ${\omega}$ nuevamente en ${P}$ , y la línea ${DN}$ se encuentra con ${\omega}$ nuevamente en ${Q}$ . Demuestre que ${DP=DQ}$ .

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo. Las líneas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares a $AB$ en los puntos $A$ y $B$, respectivamente. Las líneas perpendiculares desde el punto medio $M$ de $AB$ a las líneas $AC$ y $BC$ se intersecan con $l_1$ y $l_2$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Si $D$ es el punto de intersección de las líneas $EF$ y $MC$, demuestre que \[\angle ADB = \angle EMF.\]

Sea ${c\equiv c\left(O, R\right)}$ un círculo con centro ${O}$ y radio ${R}$ y ${A, B}$ dos puntos en él, no pertenecientes al mismo diámetro. La bisectriz del ángulo ${\angle{ABO}}$ intersecta el círculo ${c}$ en el punto ${C}$ , el circuncírculo del triángulo $AOB$ , digamos ${c_1}$ en el punto ${K}$ y el circuncírculo del triángulo $AOC$ , digamos ${{c}_{2}}$ en el punto ${L}$ . Demuestra que el punto ${K}$ es el circuncírculo del triángulo $AOC$ y que el punto ${L}$ es el incentro del triángulo $AOB$ . Evangelos Psychas (Greece)

El punto ${P}$ está fuera del círculo ${\Omega}$ . Dos líneas tangentes, que pasan desde el punto ${P}$ tocan el círculo ${\Omega}$ en los puntos ${A}$ y ${B}$ . La mediana ${AM \left(M\in BP\right)}$ intersecta el círculo ${\Omega}$ en el punto ${C}$ y la línea ${PC}$ intersecta de nuevo el círculo ${\Omega}$ en el punto ${D}$ . Demuestra que las líneas ${AD}$ y ${BP}$ son paralelas. (Moldova)