Sea $n \geq 3$ un entero. Una secuencia $P_1, P_2, \ldots, P_n$ de puntos distintos en el plano se llama buena si no hay tres de ellos colineales, la polilínea $P_1P_2 \ldots P_n$ no se auto-intersecta y el triángulo $P_iP_{i + 1}P_{i + 2}$ está orientado en sentido antihorario para cada $i = 1, 2, \ldots, n - 2$. Para cada entero $n \geq 3$, determine el entero $k$ más grande posible con la siguiente propiedad: existen $n$ puntos distintos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en el plano para los cuales hay $k$ permutaciones distintas $\sigma : \{1, 2, \ldots, n\} \to \{1, 2, \ldots, n\}$ tales que $A_{\sigma(1)}, A_{\sigma(2)}, \ldots, A_{\sigma(n)}$ es buena. (Una polilínea $P_1P_2 \ldots P_n$ consta de los segmentos $P_1P_2, P_2P_3, \ldots, P_{n - 1}P_n$.)

Hay una lámpara en cada celda de un tablero de $2017 \times 2017$. Cada lámpara está encendida o apagada. Una lámpara se llama mala si tiene un número par de vecinos que están encendidos. ¿Cuál es el número posible más pequeño de lámparas malas en dicho tablero? (Dos lámparas son vecinas si sus respectivas celdas comparten un lado.)

Determine la constante real posible más pequeña $C$ tal que la desigualdad $$|x^3 + y^3 + z^3 + 1| \leq C|x^5 + y^5 + z^5 + 1|$$ se cumple para todos los números reales $x, y, z$ que satisfacen $x + y + z = -1$.

Determine todos los pares de polinomios $(P, Q)$ con coeficientes reales que satisfacen $$P(x + Q(y)) = Q(x + P(y))$$ para todos los números reales $x$ e $y$.

Una secuencia $(u_{n})$ está definida por \[ u_{0}=2 \quad u_{1}=\frac{5}{2}, u_{n+1}=u_{n}(u_{n-1}^{2}-2)-u_{1} \quad \textnormal{para } n=1,\ldots \] Demuestra que para cualquier entero positivo $n$ tenemos \[ [u_{n}]=2^{\frac{(2^{n}-(-1)^{n})}{3}} \] (donde $[x]$ denota el entero más pequeño $\leq x)$

Fije enteros $n\ge k\ge 2$. Llamamos a una colección de monedas con valores enteros $n-diversa$ si ningún valor ocurre en ella más de $n$ veces. Dada tal colección, un número $S$ es $n-alcanzable$ si esa colección contiene $n$ monedas cuya suma de valores es igual a $S$. Encuentre el entero positivo más pequeño $D$ tal que para cualquier colección $n$ - diversa de $D$ monedas haya al menos $k$ números que sean $n$ - alcanzables.

Llame a un punto en el plano cartesiano con coordenadas enteras un $punto$ $reticular$. Dado un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos reticulares, realizamos repetidamente la siguiente operación: dados dos puntos reticulares distintos $A, B$ en $\mathcal{S}$ y dos puntos reticulares distintos $C, D$ no en $\mathcal{S}$ tales que $ACBD$ es un paralelogramo con $AB > CD$, reemplazamos $A, B$ por $C, D$. Demuestre que solo se pueden realizar un número finito de tales operaciones.

Una forma L es una de las siguientes cuatro piezas, cada una consta de tres cuadrados unitarios: [asy]\nsize(300);\ndefaultpen(linewidth(0.8));\npath P=(1,2)--(0,2)--origin--(1,0)--(1,2)--(2,2)--(2,1)--(0,1);\ndraw(P);\ndraw(shift((2.7,0))*rotate(90,(1,1))*P);\ndraw(shift((5.4,0))*rotate(180,(1,1))*P);\ndraw(shift((8.1,0))*rotate(270,(1,1))*P);\n[/asy] Un tablero de $5\times 5$, que consta de $25$ cuadrados unitarios, un entero positivo $k\leq 25$ y un suministro ilimitado de formas L son dados. Dos jugadores A y B, juegan el siguiente juego: comenzando con A, juegan alternativamente marcando un cuadrado unitario previamente sin marcar hasta que marquen un total de $k$ cuadrados unitarios. Decimos que una colocación de formas L en cuadrados unitarios sin marcar se llama $\textit{buena}$ si las formas L no se superponen y cada una de ellas cubre exactamente tres cuadrados unitarios sin marcar del tablero. B gana si cada colocación $\textit{buena}$ de formas L deja al descubierto al menos tres cuadrados unitarios sin marcar. Determine el valor mínimo de $k$ para el cual B tiene una estrategia ganadora.

Sea $n\ge 1$ un entero positivo. Un cuadrado de lado $n$ está dividido por líneas paralelas a cada lado en $n^2$ cuadrados de lado $1$. Encuentra el número de paralelogramos que tienen vértices entre los vértices de los $n^2$ cuadrados de lado $1$, con ambos lados menores o iguales a $2$, y que tienen el área igual a $2$. (Grecia)

Se colocan enteros positivos en la siguiente tabla.\n\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\n\hline\n1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 & & \\\n\hline\n2 & 5 & 9 & 14 & 20 & 27 & 35 & 44 & & \\\n\hline\n4 & 8 & 13 & 19 & 26 & 34 & 43 & 53 & & \\\n\hline\n7 & 12 & 18 & 25 & 33 & 42 & & & & \\\n\hline\n11 & 17 & 24 & 32 & 41 & & & & & \\\n\hline\n16 & 23 & & & & & & & & \\\n\hline\n... & & & & & & & & & \\\n\hline\n... & & & & & & & & & \\\n\end{tabular} Encuentra el número de la fila y la columna donde se encuentra el número $2015$.