Alrededor del triángulo $ABC$ el círculo está circunscrito, y en el vértice ${C}$ la tangente ${t}$ a este círculo está dibujada. La línea ${p}$ , que es paralela a esta tangente intersecta las líneas ${BC}$ y ${AC}$ en los puntos ${D}$ y ${E}$ , respectivamente. Demuestra que los puntos $A,B,D,E$ pertenecen al mismo círculo. (Montenegro)

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c = 3$. Encuentra el valor mínimo de la expresión \[A=\dfrac{2-a^3}a+\dfrac{2-b^3}b+\dfrac{2-c^3}c.\]

Si $a,b,c$ son números reales positivos, demuestra que: $\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>2.$

Si $x^3-3\sqrt3 x^2 +9x - 3\sqrt3 -64=0$ encuentra el valor de $x^6-8x^5+13x^4-5x^3+49x^2-137x+2015$.

Sean x, y, z números reales, que satisfacen las relaciones $x \ge 20$ $y \ge 40$ $z \ge 1675$ x + y + z = 2015. Encuentra el mayor valor del producto P = $xyz$

Determinar todos los números de cuatro dígitos $\overline{abcd} $ tales que $(a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) =\overline{abcd} $.

Encontrar todas las ternas de enteros $(a,b,c)$ tales que el número $$N = \frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2} + 2$$ es una potencia de $2016$. (Una potencia de $2016$ es un entero de la forma $2016^n$ , donde n es un entero no negativo.)

Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que el número $A_n =\frac{ 2^{4n+2}+1}{65}$ es a) un entero, b) un primo.

Encontrar el número máximo de números naturales $x_1,x_2, ... , x_m$ que satisfacen las condiciones: a) Ningún $x_i - x_j , 1 \le i < j \le m$ es divisible por $11$ , y b) La suma $x_2x_3 ...x_m + x_1x_3 ... x_m + \cdot \cdot \cdot + x_1x_2... x_{m-1}$ es divisible por $11$.

Determinar el entero positivo más grande $n$ que divide a $p^6 - 1$ para todos los primos $p > 7$.