Dos jugadores $A$ y $B$ juegan alternativamente en un polígono convexo con $n \geq 5$ lados. En cada turno, el jugador correspondiente tiene que dibujar una diagonal que no corte dentro del polígono las diagonales dibujadas previamente. Un jugador pierde si después de su turno, se forma un cuadrilátero tal que sus dos diagonales no están dibujadas. $A$ comienza el juego. Para cada entero positivo $n$ , encuentre una estrategia ganadora para uno de los jugadores.

Alberto y Beatriz juegan un juego. $2021$ piedras yacen en una mesa. Empezando con Alberto, alternativamente remueven piedras de la mesa, mientras obedecen la siguiente regla. En el $n$ -ésimo turno, el jugador activo (Alberto si $n$ es impar, Beatriz si $n$ es par) puede remover de $1$ a $n$ piedras. Así, Alberto primero remueve $1$ piedra; entonces, Beatriz puede remover $1$ o $2$ piedras, como ella desee; entonces, Alberto puede remover de $1$ a $3$ piedras, y así sucesivamente. El jugador que remueve la última piedra en la mesa pierde, y el otro gana. ¿Qué jugador tiene una estrategia para ganar sin importar los movimientos del otro jugador?

Evaristo ha dibujado doce triángulos como sigue, de forma que dos triángulos consecutivos comparten exactamente un lado. Sophie colorea cada lado del triángulo en rojo, verde o azul. Entre los $3^{24}$ posibles coloreados, ¿cuántos tienen la propiedad de que cada triángulo tiene un lado de cada color?

Demuestra que si $p$ es un número primo, entonces $7p+3^{p}-4$ no es un cuadrado perfecto.

Sean $a, b$ dos enteros positivos coprimos. Un número se llama bueno si puede ser escrito en la forma $ax + by$ para enteros no negativos $x, y$ . Definir la función $f : Z\to Z $ como $f(n) = n - n_a - n_b$ , donde $s_t$ representa el resto de $s$ al dividirlo por $t$ . Mostrar que un entero $n$ es bueno si y sólo si la secuencia infinita $n, f(n), f(f(n)), ...$ contiene sólo enteros no negativos.

Sea $n > 1$ un entero positivo y $p$ un número primo tal que $n | (p - 1) $ y $p | (n^6 - 1)$ . Demostrar que al menos uno de los números $p- n$ y $p + n$ es un cuadrado perfecto.

Demostrar que la ecuación $x^{2006} - 4y^{2006} -2006 = 4y^{2007} + 2007y$ no tiene solución en el conjunto de los enteros positivos.

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(x, y)$ tales que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{[x, y]}+\frac{1}{(x, y)}=\frac{1}{2}$ , donde $(x, y)$ es el máximo común divisor de $x, y$ y $[x, y]$ es el mínimo común múltiplo de $x, y$ .

Sea $S$ un punto dentro de $\angle pOq$ , y sea $k$ una circunferencia que contiene a $S$ y toca los lados $Op$ y $Oq$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. La línea recta $s$ paralela a $Op$ desde $S$ interseca a $Oq$ en un punto $R$ . Sea $T$ el punto de intersección del rayo $PS$ y la circunferencia circunscrita de $\vartriangle SQR$ y $T \ne S$ . Prueba que $OT // SQ$ y $OT$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle SQR$ .

Sea la circunferencia inscrita del triángulo $\vartriangle ABC$ que toca el lado $BC$ en $M$ , el lado $CA$ en $N$ y el lado $AB$ en $P$ . Sea $D$ un punto de $\left[ NP \right]$ tal que $\frac{DP}{DN}=\frac{BD}{CD}$ . Muestra que $DM \perp PN$ .