Sea $M$ un punto interior del triángulo $ABC$ con $<BAC=70$ y $<ABC=80$. Si $<ACM=10$ y $<CBM=20$. Demuestra que $AB=MC$

Se dan el entero no negativo $n$ y un tablero de ajedrez de $(2n + 1) \times (2n + 1)$ con cuadrados coloreados alternativamente en blanco y negro. Para cada número natural $m$ con $1 < m < 2n+1$, un cuadrado de $m \times m$ del tablero de ajedrez dado que tiene más de la mitad de su área coloreada en negro, se llama cuadrado $B$. Si el tablero de ajedrez dado es un cuadrado $B$, halla en términos de $n$ el número total de cuadrados $B$ de este tablero de ajedrez.

Se dan $50$ puntos en el plano, no tres de ellos pertenecientes a una misma línea. Cada uno de estos puntos está coloreado usando uno de cuatro colores dados. Demuestra que hay un color y al menos $130$ triángulos escalenos con vértices de ese color.

Llamamos a un mosaico de un rectángulo de $m \times n$ con esquinas (ver figura abajo) 'regular' si no hay sub-rectángulo que esté embaldosado con esquinas. Demuestra que si para algunos $m$ y $n$ existe un mosaico 'regular' del rectángulo de $m \times n$, entonces también existe un mosaico 'regular' para el rectángulo de $2m \times 2n$.

Los números reales $x,y,z, m, n$ son positivos, tal que $m + n \ge 2$ . Demuestra que $x\sqrt{yz(x + my)(x + nz)} + y\sqrt{xz(y + mx)(y + nz)} + z\sqrt{xy(z + mx)(x + ny) }\le \frac{3(m + n)}{8}(x + y)(y + z)(z + x)$

Sean $a$ y $ b$ enteros positivos mayores que $2$ . Demuestre que existe un entero positivo $k$ y una secuencia $n_1, n_2, ..., n_k$ que consta de enteros positivos, tal que $n_1 = a,n_k = b$ , y $(n_i + n_{i+1}) | n_in_{i+1}$ para todo $i = 1,2,..., k - 1$

Sea $A$ un conjunto de enteros positivos que contiene el número $1$ y al menos un elemento más. Dado que para dos elementos diferentes $m, n$ de $A$ el número $\frac{m+1 }{(m+1,n+1) }$ también es un elemento de $A$ , demuestre que $A$ coincide con el conjunto de enteros positivos.

Demuestre que para todos los reales positivos $a,b,c$ se cumple que $\frac{a^2-bc}{2a^2+bc}+\frac{b^2-ca}{2b^2+ca}+\frac{c^2-ab}{2c^2+ab}\leq 0$

Sea $a$ un número real positivo tal que $a^{3}=6(a+1)$ . Demuestre que la ecuación $x^{2}+ax+a^{2}-6=0$ no tiene solución real.

En un país hay $4^9$ escolares viviendo en cuatro ciudades. Al final del año escolar se realizó un examen estatal en 9 asignaturas. Se sabe que dos estudiantes cualesquiera tienen diferentes notas al menos en una asignatura. Sin embargo, cada dos estudiantes de la misma ciudad obtuvieron notas iguales al menos en una asignatura. Prueba que hay una asignatura tal que cada dos niños que viven en la misma ciudad tienen notas iguales en esta asignatura.