Encontrar todos los pares de enteros positivos $(x,p)$ tales que p es un primo, $x \leq 2p$ y $x^{p-1}$ es un divisor de $ (p-1)^{x}+1$ .

Sea $n\ge 2$ un entero. Determina el número de enteros positivos $m$ tales que $m\le n$ y $m^2+1$ es divisible por $n$ .

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que $$a!+b!=a^b + b^a.$$

Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ con $AB>AC$ y sea la recta $AI$ que intersecta el lado $BC$ en $D$ . Suponga que el punto $P$ se encuentra en el segmento $BC$ y satisface $PI=PD$ . Además, sea $J$ el punto obtenido al reflejar $I$ sobre la mediatriz de $BC$ , y sea $Q$ la otra intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $APD$ . Demuestra que $\angle BAQ=\angle CAJ$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB>AC$ . Demuestra que existe un punto $D$ con la siguiente propiedad: siempre que dos puntos distintos $X$ e $Y$ se encuentren en el interior de $ABC$ tales que los puntos $B$ , $C$ , $X$ , e $Y$ se encuentren en una circunferencia y $$\angle AXB-\angle ACB=\angle CYA-\angle CBA$$ se cumple, la recta $XY$ pasa por $D$ .

Sea $N$ un entero positivo. En cada uno de los $N^2$ cuadrados unitarios de un tablero de $N\times N$ , se dibuja una de las dos diagonales. Las diagonales dibujadas dividen el tablero de $N\times N$ en $K$ regiones. Para cada $N$ , determina los valores posibles más pequeño y más grande de $K$ .

Hay $n$ estudiantes de pie en línea en las posiciones $1$ a $n$ . Mientras el profesor mira hacia otro lado, algunos estudiantes cambian sus posiciones. Cuando el profesor mira hacia atrás, están de pie en línea nuevamente. Si un estudiante que estaba inicialmente en la posición $i$ está ahora en la posición $j$ , decimos que el estudiante se movió $|i-j|$ pasos. Determina la suma máxima de pasos de todos los estudiantes que pueden lograr.

Demuestra que para todos los números reales positivos $a$ , $b$ , $c$ tales que $abc=1$ se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{a}{2b+c^2}+\frac{b}{2c+a^2}+\frac{c}{2a+b^2}\le \frac{a^2+b^2+c^2}3.$$

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo, $H$ su ortocentro y $G$ su baricentro. La circunferencia con diámetro $AH$ corta a la circunferencia circunscrita de $BHC$ en $A'$ ( $A' \neq H$ ) . Los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar. Demuestra que los puntos $A'$ , $B'$ , $C'$ y $G$ se encuentran en una circunferencia.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen dos números distintos de $n$ dígitos, $\overline{a_1a_2\ldots a_n}$ y $\overline{b_1b_2\ldots b_n}$ , tales que el número de $2n$ dígitos $\overline{a_1a_2\ldots a_nb_1b_2\ldots b_n}$ es divisible por $\overline{b_1b_2\ldots b_na_1a_2\ldots a_n}$ .