7 Encuentre todas las soluciones $(x, y) \in \mathbb Z^2$ de la ecuación \[x^3 - y^3 = 2xy + 8.\] Amir

1 Demuestre que no existen enteros positivos $x, y$ tales que: $(x + 1)^2 + (x + 2)^2 +...+ (x + 9)^2 = y^2$

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ los pies de sus alturas. El incírculo del triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ toca sus lados en los puntos $A_{2}, B_{2}, C_{2}$. Demuestre que las rectas de Euler de los triángulos $ABC$ y $A_{2}B_{2}C_{2}$ coinciden.

3 Considere todos los triángulos $ABC$ que tienen una base fija $AB$ y cuya altura desde $C$ es una constante $h$. ¿Para cuál de estos triángulos el producto de sus alturas es máximo?

4 Sea $n \geq 3$ un entero. Hay $n$ celdas en un círculo, y a cada celda se le asigna $0$ o $1$. Hay un gallo en una de estas celdas, y repite la siguiente operación: $\bullet$ Si el gallo está en una celda asignada con $0$, cambia el número asignado a $1$ y se mueve a la siguiente celda en sentido antihorario. $\bullet$ Si el gallo está en una celda asignada con $1$, cambia el número asignado a $0$ y se mueve a la celda siguiente a la inmediata en sentido antihorario. Demuestre que la siguiente afirmación se cumple después de un número suficientemente grande de operaciones: Si el gallo está en una celda $C$, entonces el gallo dará la vuelta al círculo exactamente tres veces, deteniéndose de nuevo en $C$. Además, cada celda tendría asignado el mismo número que tenía asignado justo antes de que el gallo diera la vuelta al círculo tres veces. Aiden-1089

7 En una reunión de $2025$ personas, se va a jugar un juego. Cada persona, independientemente de las demás, elige a otra persona del grupo para que sea su "objetivo de bofetada". Cada persona desconoce a quién han elegido los demás. Una vez realizadas las elecciones, se selecciona un orden aleatorio de estos individuos. Las personas, en el orden especificado, se insertan en una fila. La $i\text{-ésima}$ persona en entrar tiene $i$ opciones para su posición en la fila entre las personas anteriores. El objetivo de cada persona es terminar directamente detrás de su objetivo de bofetada. Por lo tanto, cada persona, entre todas las posiciones posibles, elige aquella que maximiza su probabilidad de lograr su objetivo. Además, cada persona sabe que cada una de las otras personas también persigue su propio objetivo. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona determinada logre su objetivo?

20 Considere un cubo $C$ y dos planos $\sigma, \tau$, los cuales dividen el espacio euclidiano en varias regiones. Demuestre que el interior de al menos una de estas regiones interseca al menos tres caras del cubo. Amir

1 Dentro del ángulo recto $XAY$, donde $A$ es el vértice, se encuentra un semicírculo $\Gamma$ cuyo centro yace sobre $AX$ y que es tangente a $AY$ en el punto $A$. Describa una construcción con regla y compás para la tangente a $\Gamma$ tal que el triángulo encerrado por la tangente y el ángulo $XAY$ tenga área mínima.

3 Sin solaparse, se colocan baldosas hexagonales dentro de un triángulo rectángulo isósceles de área $1$ cuya hipotenusa es horizontal. Las baldosas son similares a la figura de abajo, pero no necesariamente todas del mismo tamaño. [asy] unitsize(.85cm); draw((0,0)--(1,0)--(1,1)--(2,2)--(-1,2)--(0,1)--(0,0),linewidth(1)); draw((0,2)--(0,1)--(1,1)--(1,2),dashed); label("\footnotesize $a$",(0.5,0),S); label("\footnotesize $a$",(0,0.5),W); label("\footnotesize $a$",(1,0.5),E); label("\footnotesize $a$",(0,1.5),E); label("\footnotesize $a$",(1,1.5),W); label("\footnotesize $a$",(-0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(1.5,2),N); [/asy] El lado más largo de cada baldosa es paralelo a la hipotenusa del triángulo, y el lado horizontal de longitud $a$ de cada baldosa se encuentra entre este lado más largo de la baldosa y la hipotenusa del triángulo. Además, si el lado más largo de una baldosa está más lejos de la hipotenusa que el lado más largo de otra baldosa, entonces el tamaño de la primera baldosa es mayor o igual al tamaño de la segunda baldosa. Encuentre el valor más pequeño de $\lambda$ tal que toda configuración de baldosas de este tipo tenga un área total menor que $\lambda$.

1 Demuestre que $ \frac{\frac{1}{1\cdot 2} +\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac1{1997\cdot 1998}}{\frac{2}{1000\cdot 1998} +\frac{1}{1001\cdot 1997}} $ es un número entero. Bogdan Enescu