26 Sean $(a_n)_{n\geq0}$ y $(b_n)_{n \geq 0}$ dos sucesiones de números naturales. Determine si existe un par $(p, q)$ de números naturales que satisfaga \[p < q \quad \text{ y } \quad a_p \leq a_q, b_p \leq b_q.\] Amir

25 Se dan cuatro círculos distintos $C, C_1, C_2, C_3$ y una recta $L$ en el plano tales que $C$ y $L$ son disjuntos y cada uno de los círculos $C_1, C_2, C_3$ es tangente a los otros dos, así como a $C$ y a $L$. Suponiendo que el radio de $C$ es $1$, determine la distancia entre su centro y $L$.

22 Sea $M$ el conjunto de números reales de la forma $\frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Demuestre que para todo par $x \in M, y \in M$ con $x < y$, existe un elemento $z \in M$ tal que $x < z < y$. Amir

19 Demuestre que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo número real $1 \neq s > 0$ y todo racional $0 < a \leq 1$. Amir

17 (a) Encuentre el reordenamiento $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentre el reordenamiento que minimiza $Q.$ Amir

14 Determine todos los valores reales del parámetro $a$ para los cuales la ecuación \[16x^4 -ax^3 + (2a + 17)x^2 -ax + 16 = 0\] tiene exactamente cuatro raíces reales distintas que forman una progresión geométrica. Amir

2 Se trazan todas las diagonales en un polígono convexo de $2017$ lados. Una recta $\ell$ corta a dicho polígono pero no pasa por ninguno de sus vértices. Demuestre que la recta $\ell$ corta a un número par de diagonales de dicho polígono.

16 Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros, coeficiente principal $1$ y tal que una de sus raíces es igual al producto de las otras dos. Demuestre que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1)+p(-1)-2(1+p(0)).$ Amir

11 Una mesa de billar rectangular tiene un agujero en cada una de tres de sus esquinas. Las longitudes de los lados de la mesa son los números reales $a$ y $b$. Una bola de billar es lanzada desde la cuarta esquina a lo largo de su bisectriz. La bola cae en uno de los agujeros. ¿Cuál debería ser la relación entre $a$ y $b$ para que esto suceda? Amir

12 Sean $3399$ números elegidos arbitrariamente entre los primeros $6798$ enteros $1, 2, \ldots , 6798$ de tal manera que ninguno de ellos divida a otro. Demuestre que hay exactamente $1982$ números en $\{1, 2, \ldots, 6798\}$ que deben terminar siendo elegidos. Amir