15 Demuestre que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no puede escribirse como la suma de dos recíprocos de números naturales ($S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualesquiera } p, q \in \mathbb N \right\}$) no es la unión de un número finito de progresiones aritméticas. Amir

13 Una pirámide truncada $n$-gonal regular está circunscrita alrededor de una esfera. Denotemos las áreas de la base y de las superficies laterales de la pirámide por $S_1, S_2$ y $S$, respectivamente. Sea $\sigma$ el área del polígono cuyos vértices son los puntos de tangencia de la esfera y las caras laterales de la pirámide. Demuestre que \[\sigma S = 4S_1S_2 \cos^2 \frac{\pi}{n}.\] Amir

2 Sean $\alpha$ y $\beta$ números reales positivos. Emerald realiza un viaje en el plano de coordenadas, comenzando desde el origen $(0,0)$. Cada minuto se mueve una unidad hacia arriba o una unidad hacia la derecha, restringiéndose a la región $| x-y | <2025$ en el plano de coordenadas. En el momento en que visita un punto $(x,y)$, escribe en él el entero $\lfloor x\alpha + y\beta \rfloor$. Resulta que Emerald escribió cada entero no negativo exactamente una vez. Encuentre todos los pares posibles $(\alpha, \beta)$ para los cuales tal viaje sería posible. Aiden-1089

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo inscrito en un círculo $\Gamma$. Sea $A_1$ la proyección ortogonal de $A$ sobre $BC$ de modo que $AA_1$ es una altura. Sean $B_1$ y $C_1$ las proyecciones ortogonales de $A_1$ sobre $AB$ y $AC$, respectivamente. El punto $P$ es tal que el cuadrilátero $AB_1PC_1$ es convexo y tiene la misma área que el triángulo $ABC$. ¿Es posible que $P$ se encuentre estrictamente en el interior del círculo $\Gamma$? Justifique su respuesta. Aiden-1089

3 Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros tal que $P(0) \neq 0$. Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión infinita de enteros tal que $P(i - j)$ divide a $a_i-a_j$ para todos los enteros positivos distintos $i,j$. Demuestre que la sucesión $a_1, a_2, a_3, \dots$ debe ser constante, es decir, $a_n$ es igual a una constante $c$ para todos los enteros positivos $n$. Aiden-1089

Un tri\'angulo agujereado es un tri\'angulo equil\'atero hacia arriba de longitud de lado $n$ con $n$ agujeros triangulares unitarios hacia arriba recortados. Un diamante es un rombo unitario de $60^\circ-120^\circ$. Demuestre que un tri\'angulo agujereado $T$ se puede teselar con diamantes si y solo si se cumple la siguiente condición: Cada tri\'angulo equil\'atero hacia arriba de longitud de lado $k$ en $T$ contiene como m\'aximo $k$ agujeros, para $1\leq k\leq n$ .

Sea $ S$ un conjunto finito de puntos en el plano tal que no hay tres de ellos en una l\'inea. Para cada pol\'igono convexo $ P$ cuyos v\'ertices est\'an en $ S$ , sea $ a(P)$ el n\'umero de v\'ertices de $ P$ , y sea $ b(P)$ el n\'umero de puntos de $ S$ que est\'an fuera de $ P$ . Un segmento de l\'inea, un punto y el conjunto vac\'io se consideran pol\'igonos convexos de $ 2$ , $ 1$ y $ 0$ v\'ertices respectivamente. Demuestre que para cada n\'umero real $ x$ \n\[\sum_{P}{x^{a(P)}(1 - x)^{b(P)}} = 1,\]\ndonde la suma se toma sobre todos los pol\'igonos convexos con v\'ertices en $ S$ . Formulación alternativa : Sea $ M$ un conjunto finito de puntos en el plano y no hay tres puntos colineales. Un subconjunto $ A$ de $ M$ se llamar\'a redondo si sus elementos es el conjunto de v\'ertices de un $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Para cada subconjunto redondo sea $ r(A)$ el n\'umero de puntos de $ M$ que son exteriores al $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Los subconjuntos con $ 0,1$ y 2 elementos son siempre redondos, sus pol\'igonos correspondientes son el conjunto vac\'io, un punto o un segmento, respectivamente (para los cuales todos los dem\'as puntos que no son v\'ertices del pol\'igono son exteriores). Para cada subconjunto redondo $ A$ de $ M$ construya el polinomio\n\[ P_A(x) = x^{|A|}(1 - x)^{r(A)}.\n\]\nDemuestre que la suma de polinomios para todos los subconjuntos redondos es exactamente el polinomio $ P(x) = 1.$

Sea $P$ un $2006$ - gono regular. Una diagonal se llama buena si sus puntos extremos dividen el borde de $P$ en dos partes, cada una compuesta por un número impar de lados de $P$ . Los lados de $P$ también se llaman buenos . Suponga que $P$ ha sido diseccionado en triángulos por $2003$ diagonales, ninguna de las cuales tiene un punto en común en el interior de $P$ . Encuentre el número máximo de triángulos isósceles que tienen dos lados buenos que podrían aparecer en tal configuración.

El alcalde de una ciudad desea establecer un sistema de transporte con al menos una línea de autobús, en la cual: - cada línea pasa por exactamente tres paradas, - cada dos líneas diferentes tienen exactamente una parada en común, - para cada dos paradas de autobús diferentes hay exactamente una línea que pasa por ambas. Determine el número de paradas de autobús en la ciudad.

En Terra Brasilis hay $n$ casas donde viven $n$ duendes, cada uno en una casa. Hay rutas de un solo sentido tales que: - cada ruta une dos casas, - en cada casa comienza exactamente una ruta, - en cada casa termina exactamente una ruta. Si una ruta va de la casa $A$ a la casa $B$, entonces diremos que la casa $B$ está al lado de la casa $A$. Esta relación no es simétrica, es decir: en esta situación, no necesariamente la casa $A$ está al lado de la casa $B$. Cada día, desde el día $1$, cada duende sale de la casa donde está y llega a la siguiente casa. Una leyenda de Terra Brasilis dice que cuando todos los duendes regresen a la posición original, el mundo se acabará. a) Demuestre que el mundo se acabará. b) Si $n = 98$, demuestre que es posible que los elfos construyan y guíen las rutas para que el mundo no se acabe antes de $300,000$ años.