1 (a) Demuestre que $\frac{1}{n+1} \cdot \binom{2n}{n}$ es un entero para $n \geq 0.$ (b) Dado un entero positivo $k$, determine el entero más pequeño $C_k$ con la propiedad de que $\frac{C_k}{n+k+1} \cdot \binom{2n}{n}$ es un entero para todo $n \geq k.$ Amir

6 Sea $m\ge 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos) y $B_1,B_2,...,B_m$ subconjuntos de $A$. Suponga que, para todo $k=1,2,...,m$, la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$. Demuestre que $A$ contiene al menos $\dfrac{m}{2}$ elementos.

3 Considere todos los triángulos $ABC$ que tienen una base fija $AB$ y cuya altura desde $C$ es una constante $h$. ¿Para cuál de estos triángulos el producto de sus alturas es máximo?

5 Demuestre que para todo entero $n \geq 6$, existe un hexágono convexo que puede ser disecado en exactamente $n$ triángulos congruentes.

3 Dados $n$ puntos $X_1, X_2, \ldots, X_n$ en el intervalo $0 \leq X_i \leq 1, i = 1, 2, \ldots, n$, demuestre que existe un punto $y, 0 \leq y \leq 1$, tal que \[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} | y - X_i | = \frac 12.\] Amir

2 Se trazan todas las diagonales en un polígono convexo de $2017$ lados. Una recta $\ell$ corta a dicho polígono pero no pasa por ninguno de sus vértices. Demuestre que la recta $\ell$ corta a un número par de diagonales de dicho polígono.

6 En las tres rectas distintas $a, b$ y $c$ se dan tres puntos $A, B$ y $C$, respectivamente. Construya tres puntos colineales $X, Y, Z$ en las rectas $a, b$ y $c$, respectivamente, tales que $\frac{BY}{AX} = 2$ y $\frac{CZ}{AX} = 3$. Amir

2 El polinomio $P(X)$ está definido por $P(X)=(X+2X^{2}+\ldots +nX^{n})^{2}=a_{0}+a_{1}X+\ldots +a_{2n}X^{2n}$. Demuestre que $a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{2n}=\frac{n(n+1)(5n^{2}+5n+2)}{24}$.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ los pies de sus alturas. El incírculo del triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ toca sus lados en los puntos $A_{2}, B_{2}, C_{2}$. Demuestre que las rectas de Euler de los triángulos $ABC$ y $A_{2}B_{2}C_{2}$ coinciden.

11 Una mesa de billar rectangular tiene un agujero en cada una de tres de sus esquinas. Las longitudes de los lados de la mesa son los números reales $a$ y $b$. Una bola de billar es lanzada desde la cuarta esquina a lo largo de su bisectriz. La bola cae en uno de los agujeros. ¿Cuál debería ser la relación entre $a$ y $b$ para que esto suceda? Amir