5 Considere una sucesión infinita $a_1, a_2, \dots$ de enteros positivos tal que $$100!(a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n) \text{ es un múltiplo de } a_{n-m+1}a_{m+n}$$ para todos los enteros positivos $m, n$ tales que $m \leq n$. Demuestre que la sucesión es acotada o lineal. $\emph{Observación:}$ Una sucesión de enteros positivos es $\emph{acotada}$ si existe una constante $N$ tal que $a_n < N$ para todo $n \in \mathbb{Z}_{>0}$. Una sucesión es $\emph{lineal}$ si $a_n = na_1$ para todo $n \in \mathbb{Z}_{>0}.$

19 Demuestre que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo número real $1 \neq s > 0$ y todo racional $0 < a \leq 1$. Amir

5 Entre todos los triángulos con un perímetro dado, encuentre aquel con el radio máximo de su círculo inscrito. Amir

1 Dentro del ángulo recto $XAY$, donde $A$ es el vértice, se encuentra un semicírculo $\Gamma$ cuyo centro yace sobre $AX$ y que es tangente a $AY$ en el punto $A$. Describa una construcción con regla y compás para la tangente a $\Gamma$ tal que el triángulo encerrado por la tangente y el ángulo $XAY$ tenga área mínima.

17 (a) Encuentre el reordenamiento $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentre el reordenamiento que minimiza $Q.$ Amir

12 Sean $3399$ números elegidos arbitrariamente entre los primeros $6798$ enteros $1, 2, \ldots , 6798$ de tal manera que ninguno de ellos divida a otro. Demuestre que hay exactamente $1982$ números en $\{1, 2, \ldots, 6798\}$ que deben terminar siendo elegidos. Amir

2 Se trazan todas las diagonales en un polígono convexo de $2017$ lados. Una recta $\ell$ corta a dicho polígono pero no pasa por ninguno de sus vértices. Demuestre que la recta $\ell$ corta a un número par de diagonales de dicho polígono.

16 Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros, coeficiente principal $1$ y tal que una de sus raíces es igual al producto de las otras dos. Demuestre que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1)+p(-1)-2(1+p(0)).$ Amir

1 Demuestre que $ \frac{\frac{1}{1\cdot 2} +\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac1{1997\cdot 1998}}{\frac{2}{1000\cdot 1998} +\frac{1}{1001\cdot 1997}} $ es un número entero. Bogdan Enescu

2 El polinomio $P(X)$ está definido por $P(X)=(X+2X^{2}+\ldots +nX^{n})^{2}=a_{0}+a_{1}X+\ldots +a_{2n}X^{2n}$. Demuestre que $a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{2n}=\frac{n(n+1)(5n^{2}+5n+2)}{24}$.