3 Un tablero de ajedrez blanco infinito contiene un tablero de $m \times n$ recubierto con fichas negras de tamaños $1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3, 1 \times 4$ y $1 \times 5$ sin superposición (cada ficha puede haber aparecido horizontal o verticalmente). ¿Es siempre posible colorear exactamente un cuadrado de cada ficha de blanco, de tal manera que un rey de ajedrez colocado en cualquier cuadrado blanco pueda salir del tablero moviéndose solo a otros cuadrados blancos?

3 Sin solaparse, se colocan baldosas hexagonales dentro de un triángulo rectángulo isósceles de área $1$ cuya hipotenusa es horizontal. Las baldosas son similares a la figura de abajo, pero no necesariamente todas del mismo tamaño. [asy] unitsize(.85cm); draw((0,0)--(1,0)--(1,1)--(2,2)--(-1,2)--(0,1)--(0,0),linewidth(1)); draw((0,2)--(0,1)--(1,1)--(1,2),dashed); label("\footnotesize $a$",(0.5,0),S); label("\footnotesize $a$",(0,0.5),W); label("\footnotesize $a$",(1,0.5),E); label("\footnotesize $a$",(0,1.5),E); label("\footnotesize $a$",(1,1.5),W); label("\footnotesize $a$",(-0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(1.5,2),N); [/asy] El lado más largo de cada baldosa es paralelo a la hipotenusa del triángulo, y el lado horizontal de longitud $a$ de cada baldosa se encuentra entre este lado más largo de la baldosa y la hipotenusa del triángulo. Además, si el lado más largo de una baldosa está más lejos de la hipotenusa que el lado más largo de otra baldosa, entonces el tamaño de la primera baldosa es mayor o igual al tamaño de la segunda baldosa. Encuentre el valor más pequeño de $\lambda$ tal que toda configuración de baldosas de este tipo tenga un área total menor que $\lambda$.

4 Un conjunto de 1990 personas se divide en subconjuntos disjuntos de tal manera que 1. Nadie en un subconjunto conoce a todos los demás en el mismo subconjunto, 2. Entre cualesquiera tres personas en un subconjunto, siempre hay al menos dos que no se conocen entre sí, y 3. Para cualesquiera dos personas en un subconjunto que no se conocen entre sí, existe exactamente una persona en el mismo subconjunto que conoce a ambas. (a) Demuestre que dentro de cada subconjunto, cada persona tiene el mismo número de conocidos. (b) Determine el número máximo posible de subconjuntos. Nota: Se entiende que si una persona $A$ conoce a la persona $B$, entonces la persona $B$ conocerá a la persona $A$; un conocido es alguien a quien se conoce. Se asume que toda persona se conoce a sí misma.

4 Sea $\Gamma$ un círculo con centro $I$, y $A B C D$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $A B, B C, C D$ y $D A$ es tangente a $\Gamma$. Sea $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $A I C$. La prolongación de $B A$ más allá de $A$ corta a $\Omega$ en $X$, y la prolongación de $B C$ más allá de $C$ corta a $\Omega$ en $Z$. Las prolongaciones de $A D$ y $C D$ más allá de $D$ cortan a $\Omega$ en $Y$ y $T$, respectivamente. Demuestre que \[A D+D T+T X+X A=C D+D Y+Y Z+Z C.\] Propuesto por Dominik Burek, Polonia y Tomasz Ciesla, Polonia

2 Encuentre todos los enteros positivos $n$ para los cuales los números en el conjunto $S = \{1, 2, \ldots, n\}$ pueden ser coloreados de rojo y azul, de tal manera que se satisfaga la siguiente condición: El conjunto $S \times S \times S$ contiene exactamente $2007$ ternas ordenadas $(x, y, z)$ tales que: (i) los números $x$, $y$, $z$ son del mismo color, y (ii) el número $x + y + z$ es divisible por $n$. Autor: Gerhard Wöginger, Países Bajos

1 Sea $n \geqslant 100$ un entero. Iván escribe los números $n, n+1, \ldots, 2 n$ en tarjetas diferentes. Luego, baraja estas $n+1$ tarjetas y las divide en dos montones. Demuestre que al menos uno de los montones contiene dos tarjetas tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

3 Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD.$ El punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE =\angle BCD,$ el punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA =\angle DBC,$ y el punto $X$ en la recta $AC$ satisface $CX = BX.$ Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD,$ respectivamente. Demuestre que las rectas $BC, EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

20 Considere un cubo $C$ y dos planos $\sigma, \tau$, los cuales dividen el espacio euclidiano en varias regiones. Demuestre que el interior de al menos una de estas regiones interseca al menos tres caras del cubo. Amir

21 Todos los lados y todas las diagonales del hexágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ están coloreados de azul o rojo de tal manera que cada triángulo $A_jA_kA_m, 1 \leq j < k < m\leq 6$ tiene al menos un lado rojo. Sea $R_k$ el número de segmentos rojos $A_kA_j, (j \neq k)$. Demuestre la desigualdad \[\sum_{k=1}^6 (2R_k-7)^2 \leq 54.\] Amir

15 Demuestre que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no puede escribirse como la suma de dos recíprocos de números naturales ($S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualesquiera } p, q \in \mathbb N \right\}$) no es la unión de un número finito de progresiones aritméticas. Amir