41 Una figura convexa y cerrada se encuentra dentro de un círculo dado. La figura es vista desde cada punto de la circunferencia bajo un ángulo recto (es decir, los dos rayos trazados desde el punto y que son tangentes a la figura convexa son perpendiculares). Demuestre que el centro del círculo es un centro de simetría de la figura. Amir

36 Sea $A_{1}A_{2}A_{3}$ un triángulo no isósceles con lados $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, donde el lado $a_{i}$ es opuesto al vértice $A_{i}$. Sea $M_{i}$ el punto medio del lado $a_{i}$, y sea $T_{i}$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $A_{1}A_{2}A_{3}$ toca al lado $a_{i}$. Denotemos por $S_{i}$ la reflexión del punto $T_{i}$ respecto a la bisectriz del ángulo interior $A_{i}$. Demuestre que las rectas $M_{1}S_{1}$, $M_{2}S_{2}$ y $M_{3}S_{3}$ son concurrentes.

32 La función $f(n)$ está definida sobre los enteros positivos y toma valores enteros no negativos. $f(2)=0, f(3)>0, f(9999)=3333$ y para todo $m, n$: \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ o } 1. \] Determine $f(1982)$.

2 Dado un entero positivo $n \geq 2$, encuentre el máximo número real positivo $C$ con la siguiente propiedad: Para cualesquiera $n$ números irracionales positivos $a_1 < a_2 < \dots < a_n$, si $a_n - a_1 \leq C$, entonces solo una cantidad finita de enteros no pueden expresarse de la forma $$\lfloor x_1 a_1 \rfloor + \lfloor x_2 a_2 \rfloor + \dots + \lfloor x_n a_n \rfloor, \quad x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$$ donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $x$. Propuesto por Tianqin Li y Cheng Jiang

3 Dado un entero positivo $m$, encuentre el número real máximo $C$ tal que para cualquier entero positivo $n$ y cualquier permutación $a_1, a_2, \dots, a_n$ de $1, 2, \dots, n$, existe un entero positivo $1 \leq k \leq m$ tal que $$\sum_{i=1}^{n} a_i a_{i+k} \geq Cn^3,$$ donde los índices se toman módulo $n$. Propuesto por Zhenyu Dong

39 Sea $S$ el círculo unitario con centro $O$ y sean $P_1, P_2,\ldots, P_n$ puntos de $S$ tales que la suma de los vectores $v_i=\stackrel{\longrightarrow}{OP_i}$ es el vector nulo. Demuestre que la desigualdad $\sum_{i=1}^n XP_i \geq n$ se cumple para todo punto $X$. Amir

1 Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que, en una cuadrícula infinita, la unión de cualesquiera $100$ cuadrados de $2 \times 2$ siempre pueda ser cubierta por $n$ cuadrados de $2 \times 2$ disjuntos dos a dos. Propuesto por Xingtong Guo

6 Sea \( n \geq 3 \) un entero. Para polígonos convexos \( P_1, P_2, \cdots, P_n \) en el plano, donde \( P_i \) tiene \( a_i \) vértices ( \( 1 \leq i \leq n \) ), defina \[S = \{ G \mid G \text{ es el centroide de } A_1, A_2, \cdots, A_n \text{, donde } A_i \text{ es un vértice de } P_i \}.\] Demuestre que existe una constante real positiva \( C_n \) tal que para cualesquiera \( P_1, P_2, \cdots, P_n \), \[|S| \geq C_n (a_1 a_2 \cdots a_n)^{\frac{3}{n} - \frac{1}{n\cdot 2^{n-2}}}.\] Creado por Yuxing Ye

10 Sea \( t \) un número real positivo. En el plano de coordenadas cartesianas, la elipse \(\Gamma : \frac{x^2}{4} + y^2 = 1\) y la hipérbola \(\Omega : xy = t\) se intersecan en los puntos \(A\) y \(B\) en el primer cuadrante, con \(A\) por encima de \(B\). Sea la mediatriz del segmento \(AB\) la que interseca al eje \(x\) en el punto \(C\), y sea \(D\) el vértice derecho de la elipse \(\Gamma\). Si \(\angle ACB = 2\angle BCD\), encuentre el valor de \(t\). Propuesto por Yiyan Lin

1 Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ un punto en el lado $BC$. Una recta que pasa por $D$ corta al lado $AB$ en $X$ y a la semirrecta $AC$ en $Y$. El circuncírculo del triángulo $BXD$ corta al circuncírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ nuevamente en el punto $Z$ distinto del punto $B$. Las rectas $ZD$ y $ZY$ cortan a $\omega$ nuevamente en $V$ y $W$ respectivamente. Demuestre que $AB = V W$. Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia.