3 Dados cuatro puntos $ A_1, A_2, A_3, A_4$ en el plano, no tres colineales, tales que \[ A_1A_2 \cdot A_3 A_4 = A_1 A_3 \cdot A_2 A_4 = A_1 A_4 \cdot A_2 A_3, \] denote por $ O_i$ el circuncentro del $ \triangle A_j A_k A_l$ con $ \{i,j,k,l\} = \{1,2,3,4\}.$ Suponiendo que $ \forall i A_i \neq O_i ,$ demuestre que las cuatro rectas $ A_iO_i$ son concurrentes o paralelas. Nikolai Ivanov Beluhov, Bulgaria

3 Hay tres cajas, una azul, una blanca y una roja, y $8$ bolas. Cada una de las bolas tiene escrito un número del $1$ al $8$, sin repeticiones. Las $8$ bolas se distribuyen en las cajas, de modo que haya al menos dos bolas en cada caja. Luego, en cada caja, se suman todos los números escritos en las bolas que contiene. Los tres resultados se denominan suma azul, suma blanca y suma roja, dependiendo del color de la caja correspondiente. Encuentre todas las distribuciones posibles de las bolas tales que la suma roja sea igual al doble de la suma azul, y la suma roja menos la suma blanca sea igual a la suma blanca menos la suma azul.

4 Utilizando únicamente números primos, se forma un conjunto con las siguientes condiciones: cualquier número primo de un solo dígito puede estar en el conjunto. Para que un número primo con más de un dígito esté en el conjunto, el número que resulta de eliminar solo el primer dígito y también el número que resulta de eliminar solo el último dígito deben estar en el conjunto. Escriba, de los conjuntos que cumplen estas condiciones, aquel con el mayor número de elementos. Justifique por qué no puede haber uno con más elementos. Recuerde que el número $1$ no es primo.

1 ¿Existe una función $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x+f(y))=f(x)+\sin y$, para todos los números reales $x,y$?

4 Sea ${A}_{n}$ el número de permutaciones $a_{1}, a_{2},..,a_{n}$ de $1,2,3..n$ tales que $\mid{a}_{k}-{k}\mid=0$ o $1$ o $2$. Cuando $n\ge6$, demuestre que ${A}_{n}={2A}_{n-1}+2{A}_{n-3}-{A}_{n-5}$.

Sea $m \in \mathbb{N}$ tal que $\gcd(m,6)=1$. Sea $S_{m}$ el conjunto de números menores que $m$ y coprimos con $m$. Sea $\sum_{n \in S_{m}} \frac{1}{n} = \frac{A}{B}$, con $A, B \in \mathbb{N}$. Demuestre que $m^{2}$ divide a $A$.

Sea $S=\{1,2,3,...,n\}$ y sean ${A}_{1},{A}_{2},...,{A}_{m}$ subconjuntos de $S$ con $k$ elementos. Sean ${B}_{1},{B}_{2},...,{B}_{m}$ subconjuntos de $S$ con $l$ elementos. Sea ${k}+{l}\le{n}$. Si para todo ${i}\neq{j}$ se cumple que ${A}_{i}\cap{B}_{i}=\emptyset$ y ${A}_{i}\cap{B}_{j}\neq\emptyset$, demuestre que ${m}\le\binom{k+l}{k}$.

3 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo y sus diagonales tienen un punto común $M$. Se sabe que los circuncentros de los triángulos $MAB,MBC,MCD,MDE,MEF,MFA$ yacen sobre un círculo. Demuestre que los cuadriláteros $ABDE,BCEF,CDFA$ tienen áreas iguales.

2 El conjunto de los números reales positivos distintos de cero se particiona en tres subconjuntos no vacíos mutuamente disjuntos $(A\cup B\cup C)$. a) Demuestre que existe un triángulo de longitudes de lado $a,b,c$, tal que $a\in A, b\in B, c\in C$. b) ¿Ocurre siempre que existe un triángulo rectángulo con la propiedad anterior?

6 $1, 2, \dots, 40$ están ubicados en un círculo de tal manera que para cualesquiera números secuenciales $a, b, c$, ${41} \mid {b}^{2} - {a}{c}$. ¿Cuántas ubicaciones distintas son posibles? (Las ubicaciones rotadas y simétricas se consideran iguales).