4 Para un conjunto finito $ X$ de enteros positivos, sea $ \Sigma(X) = \sum_{x \in X} \arctan \frac{1}{x}.$ Dado un conjunto finito $ S$ de enteros positivos para el cual $ \Sigma(S) < \frac{\pi}{2},$ demuestre que existe al menos un conjunto finito $ T$ de enteros positivos para el cual $ S \subset T$ y $ \Sigma(T) = \frac{\pi}{2}.$ Kevin Buzzard, Reino Unido

1 Para $ a_i \in \mathbb{Z}^ +$ , $ i = 1, \ldots, k$ , y $ n = \sum^k_{i = 1} a_i$ , sea $ d = \gcd(a_1, \ldots, a_k)$ el máximo común divisor de $ a_1, \ldots, a_k$ . Demuestre que $ \frac {d} {n} \cdot \frac {n!}{\prod\limits^k_{i = 1} (a_i!)}$ es un entero. Dan Schwarz, Rumania

2014.1

5 Determine todas las sucesiones $a_0 , a_1 , a_2 , \ldots$ de enteros positivos con $a_0 \ge 2015$ tales que para todo entero $n\ge 1$ : (i) $a_{n+2}$ es divisible por $a_n$ ; (ii) $|s_{n+1} - (n + 1)a_n | = 1$ , donde $s_{n+1} = a_{n+1} - a_n + a_{n-1} - \cdots + (-1)^{n+1} a_0$ . Propuesto por Pakawut Jiradilok y Warut Suksompong, Tailandia

3 Dado un polígono regular de $2013$ lados, ¿cuántos triángulos isósceles existen cuyos vértices sean vértices del polígono dado y tengan un ángulo mayor a $120^o$? Nguyen Tien Lam, Escuela Secundaria de Ciencias Naturales, Universidad Nacional de Hanói.

2 Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero cíclico convexo $ABCD$ se cortan en el punto $E$. Dado que $AB = 39, AE = 45, AD = 60$ y $BC = 56$, determine la longitud de $CD.$

2 En el triángulo $ ABC$ tenemos $ \angle{ACB} = 2\angle{ABC}$ y existe el punto $ D$ dentro del triángulo tal que $ AD = AC$ y $ DB = DC$ . Demuestre que $ \angle{BAC} = 3\angle{BAD}$ .

1 Resuelva la ecuación \[ 3^x - 5^y = z^2 \] en enteros positivos. Grecia

2 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre que $$\frac{a}{\sqrt{(2a+b)(2a+c)}} +\frac{b}{\sqrt{(2b+c)(2b+a)}} +\frac{c}{\sqrt{(2c+a)(2c+b)}} \le 1 $$

3 Sean $x, y, z$ números reales positivos que satisfacen la igualdad $x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$. Encuentre el valor mínimo posible de la expresión $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$.