4 Sea ${A}_{n}$ el número de permutaciones $a_{1}, a_{2},..,a_{n}$ de $1,2,3..n$ tales que $\mid{a}_{k}-{k}\mid=0$ o $1$ o $2$. Cuando $n\ge6$, demuestre que ${A}_{n}={2A}_{n-1}+2{A}_{n-3}-{A}_{n-5}$.

1 ¿Existe una función $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x+f(y))=f(x)+\sin y$, para todos los números reales $x,y$?

3 Hay tres cajas, una azul, una blanca y una roja, y $8$ bolas. Cada una de las bolas tiene escrito un número del $1$ al $8$, sin repeticiones. Las $8$ bolas se distribuyen en las cajas, de modo que haya al menos dos bolas en cada caja. Luego, en cada caja, se suman todos los números escritos en las bolas que contiene. Los tres resultados se denominan suma azul, suma blanca y suma roja, dependiendo del color de la caja correspondiente. Encuentre todas las distribuciones posibles de las bolas tales que la suma roja sea igual al doble de la suma azul, y la suma roja menos la suma blanca sea igual a la suma blanca menos la suma azul.

4 Utilizando únicamente números primos, se forma un conjunto con las siguientes condiciones: cualquier número primo de un solo dígito puede estar en el conjunto. Para que un número primo con más de un dígito esté en el conjunto, el número que resulta de eliminar solo el primer dígito y también el número que resulta de eliminar solo el último dígito deben estar en el conjunto. Escriba, de los conjuntos que cumplen estas condiciones, aquel con el mayor número de elementos. Justifique por qué no puede haber uno con más elementos. Recuerde que el número $1$ no es primo.

3 Dados cuatro puntos $ A_1, A_2, A_3, A_4$ en el plano, no tres colineales, tales que \[ A_1A_2 \cdot A_3 A_4 = A_1 A_3 \cdot A_2 A_4 = A_1 A_4 \cdot A_2 A_3, \] denote por $ O_i$ el circuncentro del $ \triangle A_j A_k A_l$ con $ \{i,j,k,l\} = \{1,2,3,4\}.$ Suponiendo que $ \forall i A_i \neq O_i ,$ demuestre que las cuatro rectas $ A_iO_i$ son concurrentes o paralelas. Nikolai Ivanov Beluhov, Bulgaria

6 Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales. Una función $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ se denomina aquaesuliana si se cumple la siguiente propiedad: para todo $x,y \in \mathbb{Q}$, \[ f(x+f(y)) = f(x) + y \quad \text{o} \quad f(f(x)+y) = x + f(y). \] Demuestre que existe un entero $c$ tal que para cualquier función aquaesuliana $f$ hay a lo sumo $c$ números racionales distintos de la forma $f(r) + f(-r)$ para algún número racional $r$, y encuentre el menor valor posible de $c$.

1 Sara escribió en la pizarra un entero con menos de treinta dígitos y que termina en $2$. Celia borra el $2$ del final y lo escribe al principio. El número que queda escrito es igual al doble del número que Sara había escrito. ¿Qué número escribió Sara?

2 Determine todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales existen enteros positivos $g$ y $N$ tales que $$\gcd (a^n+b,b^n+a)=g$$ se cumple para todo entero $n\geqslant N.$ (Note que $\gcd(x, y)$ denota el máximo común divisor de los enteros $x$ e $y.$) Propuesto por Valentio Iverson, Indonesia

3 Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos, y sea $N$ un entero positivo. Suponga que, para cada $n > N$, $a_n$ es igual al número de veces que $a_{n-1}$ aparece en la lista $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Demuestre que al menos una de las sucesiones $a_1, a_3, a_5, \dots$ y $a_2, a_4, a_6, \dots$ es eventualmente periódica. (Una sucesión infinita $b_1, b_2, b_3, \dots$ es eventualmente periódica si existen enteros positivos $p$ y $M$ tales que $b_{m+p} = b_m$ para todo $m \ge M$.)

3 Una red social tiene $2019$ usuarios, algunos pares de los cuales son amigos. Siempre que el usuario $A$ es amigo del usuario $B$, el usuario $B$ también es amigo del usuario $A$. Pueden ocurrir repetidamente, uno a la vez, eventos del siguiente tipo: tres usuarios $A$, $B$ y $C$ tales que $A$ es amigo tanto de $B$ como de $C$, pero $B$ y $C$ no son amigos, cambian sus estados de amistad de tal manera que $B$ y $C$ ahora son amigos, pero $A$ ya no es amigo de $B$ ni de $C$. Todos los demás estados de amistad permanecen sin cambios. Inicialmente, $1010$ usuarios tienen $1009$ amigos cada uno, y $1009$ usuarios tienen $1010$ amigos cada uno. Demuestre que existe una sucesión de tales eventos después de la cual cada usuario es amigo de, a lo sumo, otro usuario. Propuesto por Adrian Beker, Croacia